八皇后问题(递归+回溯法)

所谓八皇后问题，就是在一个8x8的棋盘上，放置8个皇后，要求任意两个皇后不能相互攻击，即要求任意两个皇后：1.不能在同一行，2.不能在同一列，3.也不能在同一条直线上.如下图：

要求出，所有的摆放方式，使得这些皇后不能相互攻击.

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本题的思路：列举出所有的排列，然后利用三个会相互攻击的条件进行排除.在列举过程中，利用3个限制条件进行筛选，一旦不满足，可以回溯.

本题是八皇后问题，可以推广至n皇后问题.

具体算法实施过程是：先从1~n中选择一个数i1，代表第一行的i位置要放置一个皇后，然后从1~n中选择一个数i2代表第二行的i1位置要放置一个皇后，放置之前，判断(1,i1)和(2,i2)这两个点的皇后是否可以相互攻击.如果可以相互攻击，则第二行不能选这个i2位置放置皇后，需要回溯，重新选择.如果不能相互攻击，则可以选择第三行的放置皇后的位置，以此类推.

其实，这是一个排列问题+筛选问题.本题的思路和排列问题非常类似，所以在求解本题之前，建议先看懂排列问题，有关排列问题的疑惑，参看：

http://blog.csdn.net/ten_sory/article/details/68553208

代码如下：

#include
using namespace std;

int n;//n皇后问题
int a[100];//存放位置
int vis[100];//标价数组，vis[i]=0表明数字i没有被选择过
int tot;//计数解的个数

void f(int k)
{
	if(k==n+1)//说明每行已经选择了一个位置，而且是经过筛选的，都是好的
	{
		tot ++;
		for(int i=1;i<=n;i++)//打印这些位置
			cout << a[i] << " ";
		cout << endl;
	}

	for(int i=1;i<=n;i++)//当前位置是在选择第k行的放置皇后的位置
	{
		if(!vis[i])//判断位置i是否在第1~k-1行已经选择过，其实这个直接过滤了[同列]的情况，所以下面不用判断是否在同一列
		{
			//这里第k行的i是否和1~k-1行的皇后和谐相处
			int ok = 1;//开关变量
			for(int j=1;j<=k-1;j++)
			{//判断位置(k,i)与(j,a[j])是否冲突，如果有一个冲突，则ok=0
				if(k==j || abs(k-j)==abs(i-a[j]))//同行 || 在一条直线上，注意：if(!vis[i])已经排除了在同列的情况，此处不再筛选
				{
					ok = 0;//只要1~k-1行中的某一个皇后与第k行的前位置的皇后冲突，则当前位置就不能放置皇后了
					break;
				}
			}
			if(ok)//如果不冲突
			{
				vis[i] = 1;//标志为[选择过]
				a[k] = i;//第k行位置可以定位i了
				f(k+1);//选择第k+1行的位置
				vis[i] = 0;//回溯
			}
			//如果冲突，就尝试第k行的下一个位置了
		}
	}
}

int main()
{
	cout << "请输入n：";
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		vis[i] = 0;//开始，标记数组都初始化为0，所有的位置都没有选择过
	f(1);//从第1行开始选择位置
	cout << "解的个数为：" << tot << endl;

	return 0;
}

输入8的结果为：

图中是部分截图，一共92组解.当输入的n为其他值时候，也能得到相应的n皇后问题的解.

后续：

1.本题代码完全是在[排列问题]的代码上加以修改得到的，所以，建议先弄懂排列问题，再来看本题.

2.在判断的时候使用了vis[]数组，直接排除了同列的情况，当然也可以不用vis[]数组，将[同列]和[同行],[同直线]三个限制条件放在一起.代码如下：

#include
using namespace std;

int n;
int a[100];
int tot;

void f(int k)
{
	if(k==n+1)
	{
		tot ++;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			cout << a[j] << " ";
		cout << endl;
	}

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		//现在为第k行的第i个位置，判断这个位置的皇后是否和1~k-1的皇后冲突
		//当前位置(k,i),1~k-1行的皇后的位置为：(j,a[j])
		int ok = 1;
		for(int j=1;j<=k-1;j++)
		{
			if(k==j || i==a[j] || abs(k-j)==abs(i-a[j]))
			{	//三个条件为 同行 || 同列 || 同直线
				ok = 0;
				break;
			}
		}
		if(ok)//如果(k,i)与前面的位置不冲突
		{
			a[k] = i;
			f(k+1);//选择第k+1行放置皇后的位置
		}
	}
}

int main()
{
	cout << "请输入n：";
	cin >> n;
	f(1);
	cout << "解的个数为：" << tot << endl;

	return 0;
}

亲测上述代码，同样能得到正确答案.