【债券量化策略研究系列】债券风险测度指标：久期（Duration）与凸度（Convexity）

本文仍在更新中，最后更新日期：3/27/2020

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1. 引言

1.1 前文回顾

在上一篇文章中，我们简单介绍了债券的一些基本概念和定价方法。本文延续上一篇文章的记号和术语，来讨测量债券风险的两个重要的指标：久期（Duration） 与 凸度（Convexity）。

1.2 符号说明

符号	符号含义
t	现在所对应的时刻（0时刻）
n	付息债券的付息次数
T0	债券发行日
Ti	第 i 期票息派发日 （i = 1, 2,… n）
T	债券到期日
k	固定票息债券的票息率
δ	等间隔付息债券的付息间隔时长
R(t, T)	t 时刻到 T 时刻债券的到期收益率（YTM）
P(t, T)	到期日为 T 的单位面值零息债券在 t 时刻的现值
Pc(t, T)	到期日为 T 的单位面值付息债券在 t 时刻的现值

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2. 久期（Duration）

2.1 麦考利久期（Macaulay Duration, MacD）

首先，我们来介绍麦考利久期。假设此时时刻为 t，债券到期日为 T，则定义债券的 麦考利久期（Macaulay Duration） 有：
$$\text{MacD}(t,T)=\sum _{i=I(t)}^n\frac{k\delta P(t,T_i)}{P_c(t,T)}（T_i-t）+\frac{P(t,T)}{P_c(t,T)}(T-t)$$

其中：
n 表示 t 时刻后剩余（未）付息次数；
I(t) 表示距离 t 时刻最近的付息日，即：

$$I(t)=\min \{i:t<T_i\}$$

麦考利久期实质上是在计算：在买入一只债券后，我们的平均回本时间。同时，麦考利久期也是债券价格的敏感度指标之一。为什么呢？我们先卖一个关子，继续往下看。

2.2 修正久期（Modified Duration, ModD）

修正久期（Modified Duration, ModD） 表示利率每变动一个单位，债券价格所变动的百分比，即：

$$\text{ModD}(t,T)=-\frac{1}{P_c(t,T)}\frac{\partial P_c(t,T)}{\partial R(t,T)}$$
注：公式中负号的目的是为了使修正久期为正。这是因为利率与价格为负相关，因此价格对利率的偏导数为负。

2.3 货币久期（Dollar Duration, DD）

货币久期（Dollar Duration, DD） 表示利率每变动一个单位导致债券价格变动的绝对值，即：
$$\text{DD}(t,T)=-\frac{\partial P_c(t,T)}{\partial R(t,T)}$$

2.4 DV01

DV01（Dollar Value 01) 表示利率平均变化一个基点（Basis Point） 而导致债券价格变动的绝对值，即：
$$\text{DV01}(t,T)=-\frac{1}{10000}\frac{\partial P_c(t,T)}{\partial R(t,T)}$$

2.5 各久期之间的关系

(1) MacD V.S. ModD

假设各期利率相等，即：
$$R(t,T)=R(t,T_1)=R(t,T_2)=...=R(t,T_n)$$

则有在非连续复利下，有关系式：
$$\text{MacD}(t,T)=\frac{\text{ModD}(t,T)}{1+\delta R(t,T)}$$
而在 连续复利（Continuously Compounding） 条件下，有：
$$\text{MacD}(t,T)=\text{ModD}(t,T)$$
至此，我们就可以解释2.1中的疑问：为什么麦考林久期也是衡量债券价格关于利率变动灵敏度的一个指标了。实际上，二者仅相差了一个乘数。

注1：各期折现利率相等，则利率曲线平行于x轴；
注2：该部分证明请见附录1。

(2) ModD V.S. DD

由修正久期和货币久期的定义式，易知二者有如下关系式：
$$\text{ModD}(t,T)=\text{DD}(t,T)\times P_c(t,T)$$

(3) DD V.S. DV01

由货币久期和DV01的定义式，易知二者有如下关系式：
$$\text{DD}(t,T)=10000\times \text{DV01}(t,T)$$

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3. 凸度（Convexity）

凸度（Convexity） 表示利率变动一个单位而导致的修正久期变动的绝对值，即：

$$\text{C}(t,T)=\frac{\partial \text{ModD}(t,T)}{\partial R(t,T)}$$$$=-\frac{1}{P_c(t,T)}\frac{{\partial }^2{P}_c(t,T)}{\partial R(t,T{)}^2}$$
可以看出，凸度是衡量债券价格关于利率变化的二阶灵敏度。

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4. 债券价格变动率分解公式

由修正久期与凸度的定义，以及泰勒展式，我们可以得到债券价格变化率的近似公式：

$$\frac{\Delta P(t,T)}{P(t,T)}\approx -\text{ModD}(t,T)\Delta R(t,T)+\frac{1}{2}\text{C}(t,T)\Delta R(t,T{)}^2$$
这样变化的好处是，可以将债券价格变化率转化为两个风险指标的线性代数式，从而进一步方便我们衡量利率风险，从而进一步构建对冲利率风险的债券组合（Bond Portfolio）。

注：等式右侧的残项为△R(t, T)²的高阶无穷小。

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附录：ModD与MacD关系式推导

证明：若：
$$R(t,T)=R(t,T_1)=R(t,T_2)=...=R(t,T_n)$$则在非连续复利条件下，有关系式：
$$\text{MacD}(t,T)=\frac{\text{ModD}(t,T)}{1+\delta R(t,T)}$$
且在连续复利条件下，有关系式：
$$\text{MacD}(t,T)=\text{ModD}(t,T)$$
Proof：
当条件为非连续复利时：
$$\begin{gathered} \text{ModD}(t,T)=-\frac{1}{P_c(t,T)}\frac{\partial P_c(t,T)}{\partial R(t,T)} \\ =\frac{1}{P_c(t,T)[1+\delta R(t,T)]}[\sum _{i=I(t)}^T\frac{\delta k}{[1+\delta R(t,T){]}^{T_i-t}}+\frac{1}{[1+\delta R(t,T){]}^{T-t}}] \\ =\frac{1}{P_c(t,T)[1+\delta R(t,T)]}[\sum _{i=I(t)}^T\delta kP(t,T_i)+P(t,T)] \\ =\frac{1}{1+\delta R(t,T)}[\sum _{i=I(t)}^T\delta k\frac{P(t,T_i)}{P_c(t,T)}+\frac{P(t,T)}{P_c(t,T)}] \end{gathered}$$$$=\frac{1}{1+\delta R(t,T)}\cdot \text{MacD}(t,T)$$
而在连续复利条件下，有：
$$\text{ModD}(t,T)=-\frac{1}{P_c(t,T)}\frac{\partial P_c(t,T)}{\partial R(t,T)}$$$$=-\frac{1}{P_c(t,T)}\frac{\partial [{\sum }_{i=I(t)}^T\delta k{e}^{-R(t,T)(T_i-t)}+e^{-R(t,T)(T-t)}]}{\partial R(t,T)}$$$$=\frac{1}{P_c(t,T)}[\sum _{i=I(t)}^T\delta k{e}^{-R(t,T)(T_i-t)}(T_i-t)+e^{-R(t,T)(T-t)}(T-t)]$$$$=\frac{1}{P_c(t,T)}[\sum _{i=I(t)}^T\delta kP(t,T_i)(T_i-t)+P(t,T)(T-t)]$$$$=\sum _{i=I(t)}^T\delta k\frac{P(t,T_i)}{P_c(t,T)}+\frac{P(t,T)}{P_c(t,T)}=MacD(t,T)$$
Q.E.D.

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写在最后

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