主成份(PCA)与奇异值分解(SVD)的通俗解释

主成份(PCA)与奇异值分解(SVD)的通俗解释

1. 问题描述

在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量观测，收集大量数据以便进行分析，寻找规律。多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。

2. 过程

主成分分析法是一种数据转换技术，当我们对一个物体进行衡量时，我们将其特征用向量（a1,a2,a3,...an）进行表示，每一维都有其对应的variance（表示在其均值附近离散的程度）；其所有维的variance之和，我们叫做总的variance；我们对物体进行衡量时，往往其特征值之间是correlated的，比如我们测量飞行员时，有两个指标一个是飞行技术（x1），另一个是对飞行的喜好程度（x2），这两者之间是有关联的，即correlated的。我们进行PCA（主成分分析时），我们并没有改变维数，但是我们却做了如下变换，设新的特征为（x1,x2,x3...,xn）;

其中

1) x1的variance占总的variance比重最大；

2) 除去x1，x2的variance占剩下的variance比重最大；

....

依次类推；

最后，我们转换之后得到的(x1,x2,...xn)之间都是incorrelated，我们做PCA时，仅取（x1，x2,....xk），来表示我们测量的物体，其中，k要小于n。主成分的贡献率就是某主成分的方差在全部方差中的比值。这个值越大，表明该主成分综合X1，X2，…，XP信息的能力越强。如果前k个主成分的贡献率达到85%，表明取前k个主成分基本包含了全部测量指标所具有的信息，这样既减少了变量的个数又方便于对实际问题的分析和研究。

注意，当（a1,a2,a3,...an）之间都是incorrelated时，我们就没有做PCA的必要了。

数据点在上图所示的方向上进行投影后，数据仍然有着很大的variance，但在下图所示的方向上，投影后的数据的variance就很小。

我们所需要做的就是找到这一系列的向量，使得数据在其上的投影有着较大的variance。

3. 数学描述

为了能够找到这一系列的向量，我们对数据进行预处理：

1. Alcohol
2. Malic acid
3. Ash
4. Alcalinity of ash
5. Magnesium
6. Total phenols
7. Flavanoids
8. Nonflavanoid phenols
9. Proanthocyanins
10. Color intensity
11. Hue
12. OD280/OD315 of diluted wines
13. Proline

样本数为130，在matlab下按照以上步骤，进行PCA，得到的特征值如下：

选取前k个特征值使得前k个主成分的贡献率达到85%，计算得到的结果为k=1，其对应的特征向量为u=

令X=X*u即可得到新的X，其中X原来维数为130×13，进行PCA后的维数为130×1。