高等数学笔记 第一章 第一节 极限

高等数学笔记

第一章 第一节 极限

1.什么是极限

我们先举一个例子简单的了解一下极限是什么

例： an=nn+1，当n=1，2，3…时，a1，a2，a3=12，23，34…,求1是数列an=nn+1的极限。 a n = n n + 1 ， 当 n = 1 ， 2 ， 3 … 时 ， a 1 ， a 2 ， a 3 = 1 2 ， 2 3 ， 3 4 … , 求 1 是 数 列 a n = n n + 1 的 极 限 。
解： 取∀ε>0,设|an−1|=1n+1<ε。∃N=⌊1ε⌋−1，当n>N时，|an−1|=1n+1<ε, 取 ∀ ε > 0 , 设 | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε 。 ∃ N = ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ， 当 n > N 时 ， | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε ,
∴limn→+∞an=1 ∴ lim n → + ∞ a n = 1

首先我们简单的观察一下 { an} { a n } 的规律， an=nn+1 a n = n n + 1 随着n的取值不断的增大会越来越趋于1，这是可以先判断出来的。我们先假设一个数 ε ε ，可以是任何一个数，这里我强调的是一个任意性。 |an−1| | a n − 1 | 表示的是 an a n 与1之间的距离，我们先假设这个距离是小于 ε ε ,也就小于任何一个数字。然后我们再取一个数字N,设 N=⌊1ε⌋−1 N = ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ，这个数字是肯定存在的，因为之前这就是我通过假设推出来的: (1n+1<ε⇔n>⌊1ε⌋−1) ( 1 n + 1 < ε ⇔ n > ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ) 。也就是说只要我的n>N了，就是 n>⌊1ε⌋−1 n > ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ，就是 |an−1|=1n+1<ε | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε 。应为 ε ε 是任何一个数，也就是说 an a n 与1之间的距离可以无限的接近，也就是说 limn→+∞an=1 lim n → + ∞ a n = 1 。

数列的极限可以说是一个数列的终极目标，这个数列的极限对于数列来说可以取到也可以取不到，只要是无限的接近就可以了。

现在我们给出精确的关于数列的定义：

{ an}，若∀ε>0，∃N>0,当n>N时，|an−A|<ε,称A为{ an}的极限，记为limn→+∞an=A { a n } ， 若 ∀ ε > 0 ， ∃ N > 0 , 当 n > N 时 ， | a n − A | < ε , 称 A 为 { a n } 的 极 限 ， 记 为 lim n → + ∞ a n = A
或an→A(n→+∞) 或 a n → A ( n → + ∞ )

现在再来几个例题加深一下理解吧：

例1：
证明：limn→+∞n2n+1=12 证 明 ： l i m n → + ∞ n 2 n + 1 = 1 2
解：∀ε>0，|n2n+1−12|=12(2n+1)<ε。 解 ： ∀ ε > 0 ， | n 2 n + 1 − 1 2 | = 1 2 ( 2 n + 1 ) < ε 。
∃N=[12(12ε−1)]，当n>N时，|n2n+1−12|<ε ∃ N = [ 1 2 ( 1 2 ε − 1 ) ] ， 当 n > N 时 ， | n 2 n + 1 − 1 2 | < ε
limn→+∞n2n+1=12 lim n → + ∞ n 2 n + 1 = 1 2

例2：
证明：limn→+∞2n2−12n2+1=1 证 明 ： l i m n → + ∞ 2 n 2 − 1 2 n 2 + 1 = 1
解：∀ε>0，|2n2−12n2+1−1|=22n2+1⩾1n2<ε。 解 ： ∀ ε > 0 ， | 2 n 2 − 1 2 n 2 + 1 − 1 | = 2 2 n 2 + 1 ⩾ 1 n 2 < ε 。
(1.这里运用到的是放大的方法。当然也可以不要放大，放大后比较方便一些。\放大后比ε小的话，那么原本就一定会更小了。\2.等式成立的充分必要条件是1n2<ε⇔n>1ε−−√) ( 1. 这 里 运 用 到 的 是 放 大 的 方 法 。 当 然 也 可 以 不 要 放 大 ， 放 大 后 比 较 方 便 一 些 。 \放 大 后 比 ε 小 的 话 ， 那 么 原 本 就 一 定 会 更 小 了 。 \2 . 等 式 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 1 n 2 < ε ⇔ n > 1 ε )
∃N=1ε−−√)，当n>N时，|2n2−12n2+1−1|<ε ∃ N = 1 ε ) ， 当 n > N 时 ， | 2 n 2 − 1 2 n 2 + 1 − 1 | < ε
limn→+∞2n2−12n2+1=1 l i m n → + ∞ 2 n 2 − 1 2 n 2 + 1 = 1

现在我们再看看下面的定义是否是正确的：

\left { {a_{n}}^{}\right }，若{\forall}\varepsilon >0，\exists N>0,当n{\geqslant}N时，|{a_{n}}-A|<2\varepsilon, 那么A是数列的极限吗？\  
  答：是的。因为2\varepsilon也是任意的小，是可以作为无限接近的标准的。\这只是换了一个说法摆了，其实本质上是一样的。 \left { {a_{n}}^{}\right }，若{\forall}\varepsilon >0，\exists N>0,当n{\geqslant}N时，|{a_{n}}-A|<2\varepsilon, 那么A是数列的极限吗？\    答：是的。因为2\varepsilon也是任意的小，是可以作为无限接近的标准的。\这只是换了一个说法摆了，其实本质上是一样的。

2.极限的性质

1. 唯一性

若limn→∞an=A,limn→∞an=B,则A=B 若 l i m n → ∞ a n = A , l i m n → ∞ a n = B , 则 A = B

证：(反证法)$设A{\neq}B,且A>B,取\varepsilon=\frac{A-B}{2}\
\because{lim_{n\to\infty}{a_{n}=A}}\quad\therefore{\exists}{N_1}>0,\
当n>N_1时，\|a_n-A|<\frac{A-B}{2}\Leftrightarrow\frac{A+B}{2}

2. 有界性

若limn→∞an=A,则∃M>0,使得|an|⩽M 若 l i m n → ∞ a n = A , 则 ∃ M > 0 , 使 得 | a n | ⩽ M

通俗的说，一个数列如果有极限则一定有界。但是反之不对,比如说 an=1+−1n a n = 1 + − 1 n 。
证： ε=1,∵limn→∞an=A∴∃N>0\当n>N时，|an−A|<ε=1 (下面介绍一下一个中学知识，就是三角不等式，||a|−|b||⩽|a±b|⩽||a|+|b||\（也可以写成||a|−|b||⩽|a±b|⩽|a|+|b|）,这个式子的意思就是说： 三角形一条边的最大值不会大于另外两条边的和也不会小于另外两条边的差) ∴||an|−|A||⩽|an−A|<1⇔|an|−|A|<1⇔|an|<1+|A| 取M=max|a1|,|a2|,|a3|…|an|,1+|A| 则∀n,有|an|⩽M ε = 1 , ∵ l i m n → ∞ a n = A ∴ ∃ N > 0 \当 n > N 时 ， | a n − A | < ε = 1   ( 下 面 介 绍 一 下 一 个 中 学 知 识 ， 就 是 三 角 不 等 式 ， | | a | − | b | | ⩽ | a ± b | ⩽ | | a | + | b | | \（ 也 可 以 写 成 | | a | − | b | | ⩽ | a ± b | ⩽ | a | + | b | ） , 这 个 式 子 的 意 思 就 是 说 ：   三 角 形 一 条 边 的 最 大 值 不 会 大 于 另 外 两 条 边 的 和 也 不 会 小 于 另 外 两 条 边 的 差 )   ∴ | | a n | − | A | | ⩽ | a n − A | < 1 ⇔ | a n | − | A | < 1 ⇔ | a n | < 1 + | A |   取 M = m a x | a 1 | , | a 2 | , | a 3 | … | a n | , 1 + | A |   则 ∀ n , 有 | a n | ⩽ M

3. 保号性

若limn→∞an=A>0(<0),则∃N>0,当n>N时，an>0(<0) 若 l i m n → ∞ a n = A > 0 ( < 0 ) , 则 ∃ N > 0 , 当 n > N 时 ， a n > 0 ( < 0 )

证： 设A>0,取ε=A2>0 ∵limn→∞an=A∴∃N>0,当n>N时，|an−A|<A2 ∴an>A2>0 设 A > 0 , 取 ε = A 2 > 0   ∵ l i m n → ∞ a n = A ∴ ∃ N > 0 , 当 n > N 时 ， | a n − A | < A 2   ∴ a n > A 2 > 0