三分法求函数极值

三分法求函数极值

  类似于二分法思想，三分算法主要应用于求解非线性函数的极值问题，是一种通过不断迭代，求得函数极值点近似解的算法。

  如图所示，已知函数f(x)在点left和点right中间存在一个极值点，现在我们的任务就是找到这个极值点或者计算函数在这个区间上的极值。在这里，与二分法图片不同的是，mid点有左右两个（都是三等分点）
分别记为midl和midr，则易得：
$$mid{l}_x=lef{t}_x+\frac{righ{t}_x-lef{t}_x}{3}=\frac{2\ast lef{t}_x+righ{t}_x}{3}$$
$$mid{r}_x=righ{t}_x-\frac{righ{t}_x-lef{t}_x}{3}=\frac{lef{t}_x+2\ast righ{t}_x}{3}$$
在进行迭代的时候，计算f(midl)和f(midr)并比较大小，发现有f(midl)>f(midr)，说明midr距离极值点更近，因此应该将left点进行更新，如下图所示。

   在经过若干次迭代之后，right-left会越来越小，并小于一个值eps，此时结束迭代。我们可以通过调整eps的大小控制极值点求解的精度。

  值得注意的是，我们应根据所求极值点（极大值/极小值）对判断条件应做出相应调整，即求极大值时，当f(midl) > f(midr)，说明左端点距离极大值点更近，因此应该更新right。

实现上图的代码（C语言）如下：

double th_division(double left, double right, double eps)
{
      //求解极小值点
    double midl, midr;
    while (right - left > eps)
    {
     
        midl = (2 * left + right) / 3;
        midr = (left + 2 * right) / 3;
        if (f(midl) > f(midr)) // f是需要求的函数
            left = midl;
        else
            right = midr;
    }
    return midl; //返回近似极值点
}

例题: HDOJ 2438 Turn the corner

题目传送门

  题目大意：给定一个转角两端的宽度X, Y，以及汽车的长度和宽度L, D，判断汽车能否转过这个角（理想化转角）。

  分析：判断汽车左侧所在直线与墙边所在直线交点位置即可，关键在于建立数学方程。

实现代码：

#include 
#include 
using namespace std;

const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);
double x, y, l, d;

double fun(double i)
{
     
    return (x - l * sin(i) - d / cos(i)) / tan(i);
}

int main()
{
     
    while (~scanf("%lf%lf%lf%lf", &x, &y, &l, &d))
    {
     
        double ll = 0, rr = pi / 2, midl, midr;
        while (rr - ll > eps)
        {
     
            midl = (2 * ll + rr) / 3;
            midr = (ll + 2 * rr) / 3;
            if (fun(midl) < fun(midr))
                rr = midr;
            else
                ll = midl;
        }
        if (fun(ll) > -y)
            printf("yes\n");
        else
            printf("no\n");
    }
}

  如有错误还请指出。