python 通过字典实现的并查集按秩合并（并查集merge中size的优化) 解释及模板

并查集有两种在 merge() 中的优化

一种基于 size 的；
一种基于 rank 的，rank的优化更彻底；
并查集还有在 find() 中的优化，就是路径压缩
所有操作均基于 并查集路径压缩及实现的模板实现

基于size的优化：

这里先看一个简单的例子来理解优化过程

index	1	2	3	4
father	None	1	1	None

首先进行合并操作

将1节点与4节点连通
相当于代码模板中的merge(1, 4)

index	1	2	3	4
father	4	4	4	None

可以发现，这个结构的树的层相对较高，
若此时元素数量增多，这样产生的消耗就会相对较大

解决这个问题其实很简单：
在进行具体指向操作的时候先进行判断
把元素少的集合根节点指向元素多的根节点
能更高概率的生成一个层数比较低的树。

构造并查集的时候需要多一个参数，
size 数组，size[i] 表示以 i 为根的集合中元素个数。
（这里如果通过字典实现并查集也需要传入数组长n）

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        """
        记录每个节点的父节点
        """
        self.father = {
     }
        self.size = [0] * n

在进行合并操作时
需根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向
在merge中进行优化进行优化操作

具体方法
将判错功能独立出来
如果size[x]的元素个数（连通分量中的节点个数）大于size[y]中的
就将root_x， root_y进行互换再进行操作
（等价于让y的连通分量并入x为根节点的连通分量中）

    def merge(self, x, y):
        """
        合并两个节点
        """
        root_x, root_y = self.find(x), self.find(y)

        if root_x == root_y:
            return False

        if self.size[root_x] < self.size[root_y]:
            root_x, root_y = root_y, root_x

        self.size[root_x] += self.size[root_y]
        self.father[root_x] = root_y

size合并优化后结果

index	1	2	3	4
father	None	1	1	1

完整模板：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        """
        记录每个节点的父节点
        """
        self.father = {
     }
        self.size = [0] * n

    def find(self, x):
        """
        查找根节点
        路径压缩
        """
        root = x

        while self.father[root] is not None:
            root = self.father[root]

        # 路径压缩
        while x != root:
            original_father = self.father[x]
            self.father[x] = root
            x = original_father

        return root

    def merge(self, x, y):
        """
        合并两个节点
        """
        root_x, root_y = self.find(x), self.find(y)

        if root_x == root_y:
            return False

        if self.size[root_x] < self.size[root_y]:
            root_x, root_y = root_y, root_x

        self.size[root_x] += self.size[root_y]
        self.father[root_x] = root_y

    def is_connected(self, x, y):
        """
        判断两节点是否相连
        """
        return self.find(x) == self.find(y)

    def add(self, x):
        """
        添加新节点
        """
        if x not in self.father:
            self.father[x] = None

size优化的优点及不足

优点：

引入秩的概念是为了能更快的查找到根
如果不引入秩的概念
可以试想一种极坏的情况
并查集所表示树形结构退化为链
此时查找根节点效率很低
但是用秩的话就不会出现这种情况。

不足与无奈：

《算法导论》和《算法（第 4 版）》都有讲「秩」的含义
「按秩合并」又叫「启发式合并」，
「启发」的意思是：「依据经验」、「尝试」、「探测」，
在可接受误差的情况下行之有效的算法策略
简而言之：虽然不精确、达不到最优
但好过没有