倪文迪陪你学蓝桥杯2021寒假每日一题：1.27日（2019省赛A组第5题）

2021年寒假每日一题，2017~2019年的省赛真题。本文内容由倪文迪（华东理工大学计算机系软件192班）和罗勇军老师提供。每日一题，关注蓝桥杯专栏: https://blog.csdn.net/weixin_43914593/category_10721247.html

每题提供C++、Java、Python三种语言的代码。

2019省赛A组第5题“RSA解密” ，题目链接：
http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1456

1、题目描述

  仍然是填空。

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RSA 是一种经典的加密算法。它的基本加密过程如下。
首先生成两个质数 $p,q$，令 $n=p\cdot q$，设 $d$与 $(p-1)\cdot (q-1)$ 互质，则可找到 $e$ 使得 $d\cdot e$ 除 $(p-1)\cdot (q-1)$ 的余数为 1。
$n,d,e$ 组成了私钥，$n,d$ 组成了公钥。
当使用公钥加密一个整数 $X$ 时（小于 $n$），计算 $C=X^{d}modn$，则 $C$ 是加密后的密文。
当收到密文 $C$ 时，可使用私钥解开，计算公式为 $X=C^{e}modn$。
例如，当 $p=5,q=11,d=3时，n=55,e=27$。
若加密数字 24，得 $24^{3}mod55=19$。
解密数字 19，得 $19^{2}7mod55=24$。
现在你知道公钥中 $n=1001733993063167141,d=212353$，同时你截获了别人发送的密文 $C=20190324$，请问，原文是多少？

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2、题解

2.1 求p、q

  先求$n$的素因子$p$和$q$。注意，n只有这2个因子，没有别的因子。$p$和$q$必然有 一个小于$\sqrt{n}$，找到一个，另一个就知道了。
  没有什么好办法，只能暴力，也就是简单地用$i$循环从2到$\sqrt{n}$一个个试。若$n$除以$i$，余数是0，$i$就是因子。
  如果预先知道素数序列，只试这些素数，当然能更快。不过，用素数筛预计算出比$\sqrt{n}$小的素数，也需要至少$\sqrt{n}$次。还不如直接用暴力。
  下面的代码，循环次数是$\sqrt{n}$=$\sqrt{1001733993063167141}=1000866621$，即十亿次计算。得到：$p=891234941、q=1123984201$。

1、C++代码
  执行实际约十秒。

//大概10秒
#include
#define ll long long
using namespace std;

int main(){
     
	ll n = 1001733993063167141;
    ll k= sqrt(n);
	for(ll i = 2 ; i < k; i++)
		if(n % i == 0)
			cout << i << " " << n / i << endl;
	return 0;
}

2、python代码
  竟然要几分钟！Python在做循环的时候失去了威力。
  网上有大量吐槽Python的**for循环慢**的帖子。

from math import *
n = 1001733993063167141
k = int(sqrt(n))
for i in range(2,k):
   if n%i == 0:
      print(i,n//i)

2.2 求e

  这时候要用到真正的大数了。c++的64位long long不够用，虽然有_int128，但是有些编译器不支持。
  还是靠Python吧。下面代码打印出e=823816093931522017。注意e有很多个，取最小的一个就行了。

n = 1001733993063167141
d = 212353
p=891234941
q=1123984201
tmp = (p - 1) * (q - 1)
print(tmp)
for i in range(2,n+1):
    now = i * tmp + 1
    if (now % d == 0):
           print(now // d)   #打印e
           break             #有很多e，求第一个就行了

2.3 求$X=C^{e}modn$

   原来，本题是考了一个快速幂。还是用Python吧：

def qpow(a,b,mod):
    ret = 1
    while b:
        if(b&1):
             ret = ret*a % mod
        a = a*a % mod
        b>>=1
    return ret
 
n = 1001733993063167141
e = 823816093931522017   #试试其他的e
C = 20190324
print(qpow(C,e,n))       #579706994112328949

3、快速幂

  快速幂的原理，在《算法竞赛入门到进阶》京东 当当156页做了清晰简明的解释。大家可能没有这本书，这里贴图：