[ python ] 动态规划笔记 [一] 四大步骤

动态规划组成部分一： 确定状态

【状态】
在动态规划中属于定海神针
一般来说，解动态规划的时候需要开一个数组f，数组的每个元素f[i]、f[i][j]意味着什么，类似于数学题中X、Y、Z代表着什么

【确定状态】需要两个意识
- 最后一步
- 子问题

比如在这道题中：

【关键点】
1、我们现在并不关心前面ak-1、k-1是什么，但是我们可以确定，前面的硬币组合肯定拼出来27-ak
2、拼出27-ak的个数一定要最少

所以 -------------------->

1、我们要求用最少的硬币数拼出27-ak
2、值得一提的是，原问题是拼出27
3、我们把原问题转化成了一个子问题，而且规模更小：27-ak
4、为了简化定义，我们设状态 f(X)=最少用多少枚硬币拼出X，所以原问题是找出f(27),现在是找出f(27-ak)

以上为【确定状态的部分】

现在，我们不知道最后那一步的硬币面值是多少，是2 是5 是7？

下面是递归解法：

class Solution:
    '''
    面值2 5 7
    '''

    def pay(self, sum):
        res = float('inf')
        if sum == 0:
            return 0
        if sum >= 2:
            res = min(res,self.pay(sum-2)+1)
        if sum >= 5:
            res = min(res,self.pay(sum-5)+1)
        if sum >= 7:
            res = min(res,self.pay(sum-7)+1)
        return res

a = Solution()
print(a.pay(27))

但是，会出现重复递归：

如何避免？
要将计算结果保存下来->请看动态规划组成部分二

动态规划组成部分二： 转移方程

设状态方程f(X)=最少用多少枚硬币拼出X

动态规划组成部分三：初试条件和边界情况

动态规划组成部分四：计算顺序

解法：

class Solution:
    '''
    面值1 2 5 7
    '''

    def pay(self, sum):
        values = [1, 2, 5, 7]
        memory = [float('inf')] * (sum+1)
        memory[1], memory[2], memory[5], memory[7]= 1, 1, 1, 1
        for i in range(3,sum+1):
            if i not in values:
                memory[i] = min(memory[i], memory[i-1]+1, memory[i-2]+1, memory[i-5]+1, memory[i-7]+1)
        return memory[sum]

a = Solution()
print(a.pay(271))

第二道题：






解法如下：

class Solution:
    def calculate(self,m,n):
        map = [[0] * n for i in range(m)]
        map[0][0] = 1
        '''
        目的地是:
        map[m-1][n-1]
        '''
        for i in range(1, n):
            map[0][i] = map[0][i-1]
        for i in range(1, m):
            map[i][0] = map[i-1][0]

        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                map[i][j] = map[i-1][j] + map[i][j-1]

        return map[i][j]

sol = Solution()
print(sol.calculate(10,10))