第一章 数学模型的建立

第一章 建立数学模型

1.首先理解什么是数学建模

对现实世界的特定对象，根据特定规律，作出简化假设，得到数学结构的过程。重点学习建立数学模型的全过程。

2. 建模简单实例

2.1包饺子中的数学

1. 问题：1 kg面和1 kg可以包100个饺子，那么1 kg面包50个可以包多少馅呢？

2. 问题分析：馅与面皮，即物体的表面积与体积。用V和S表示大饺子的体积与表面积；v和s表示小饺子的体积与表面积。

3. 模型假设：

   • 饺子面皮一样厚，面皮面积满足
     $$S=ns$$

   • 所有饺子形状相同

4. 模型建立
   利用半径将体积与表面积建立联系，形状相同的物体，V与S有固定的关系
   $$\begin{gathered} V=k_1{R}^3,S=k_2{R}^2 \\ v=k_1{R}^3,S=k_2{R}^2 \end{gathered}$$
   进一步确定了包饺子问题的数学模型
   $$\begin{gathered} V=k{S}^{\frac{3}{2}} \\ v=k{s}^{\frac{3}{2}} \\ 即V=n^{\frac{3}{2}}v=\sqrt{n}(nv)\dots \dots \ast \end{gathered}$$

5. 结果解释

   * 式子说明了50个饺子可以包馅
   $$\sqrt{2}kg$$

   3. 建模的基本方法与基本步骤（方法指导）

   基本方法：机理分析与测试分析

   根据上述简单实例，建模的基本步骤分为：

   1. 模型准备
   2. 模型假设
   3. 模型构成
   4. 模型求解
   5. 模型分析
   6. 模型检验和应用

4.案例拓展：多步决策模型

• 智力游戏：商人安全过河问题利用数学模型解决
  三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由自己划行。在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货（商人携带货物）。乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们如何安全渡河？

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  1. 模型构成

     记第k次渡河前此岸的商人数为x_k，随从数为y_k，k=1,2,3,……， x_k, y_k=0,1,2……

     二维向量s_k={x_k,y_k}为状态，允许状态集合为S，注意保证双岸都安全
     $$S=\{(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2\}$$
     记第k次渡河船上商人数为u_k，随从数为v_k

     二维向量d_k={u_k,v_k}为决策，允许决策集合为D
     $$D=\{(u,v)|1\le u+v\le 2,u,v=0,1,2\}$$
     k为奇数时此岸驶向彼岸，k为偶数是彼岸驶向此岸。状态s_k随决策d_k变化规律是
     $$s_{k+1}=s_k+(-1{)}^k{d}_k..............\ast$$
     *称为状态转移律

     由上归结为多步决策模型：求决策模型d_k∈D，使s_k∈S按照状态转移律*，由初始状态s_k=｛3，3｝经过有限步n到达状态s_k=｛0，0｝

  2. 模型求解

     运用计算机编写程序求解

  3. 方法总结

     适当的设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，可以有效地解决这一类问题