第二章 初等模型

第二章 初等模型

一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，基本可以用初等数学的方法来构造和求解模型。本章通过若干实例，运用简单的数学方法来建立模型。

本章重点学习：简单数学方法+巧妙设置模型假设+模型构成思路 找到设置参数之间的关系

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1. 划艇比赛成绩

问题：
T .A. McMahon根据各种赛艇的比赛成绩发现他们之间有相当一致的差别，认为比赛成绩与桨手数量之间存在一定的联系，于是根据以下思路建立一个模型。（数据表格略）

问题分析：

• 首先明确建模的目的：求出桨手n与成绩即时间t的关系

• 赛艇所受阻力：赛艇浸没部分与水之间的摩擦力。人越多动力越大，但是阻力也随之增大。

• 构建静态模型可以使问题简化，添加赛程不变，赛艇保持最大速度到终点等静态条件。

• 应当考虑的因素：人提供的功率，人由于质量而带来的阻力，赛艇的特征尺寸得出排水体积和表面积的关系。

模型假设：

• 赛艇的几何形状相同，即特征尺寸相同。
• 桨手体重w相同，每个桨手提供的功率p相同，并且p与w成正比
• 赛艇所受阻力f与sv²成正比(v为赛艇的速度，s为赛艇浸没面积)；并且赛程中v为常数

模型构成：

有n名桨手，总功率为np，与阻力f 和速度v 的乘积成正比
$$np\propto fv$$
由假设可知
$$\begin{gathered} f\propto s{v}^2 \\ p\propto w \end{gathered}$$
由建模目的，令体重w为常数，可得
$$v\propto (\frac{n}{s}{)}^{\frac{1}{3}}$$
接下来只需求得s与n的关系

​ 排水体积A与特征尺寸c的关系
$$A\propto c^3$$
​ 排水面积s与特征尺寸c的关系
$$s\propto c^2$$
​ 故
$$s\propto A^{\frac{2}{3}}$$
​ 又排水体积与赛艇总质量关系
$$A\propto M\propto n$$
​ 即
$$s\propto n^{\frac{2}{3}}$$
进一步可得
$$v\propto n^{\frac{1}{9}}$$
赛程不变，v与t成反比
$$t\propto n^{-\frac{1}{9}}$$

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2.实物交换模型

甲有面包若干，乙有香肠若干。二人共进午餐时希望相互交换一部分，达到双方满意的结果。交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度，而偏爱程度很难给出确切的定量关系，我们可以将如何交换实物建立一个模型。

无差别曲线：
描述交换的一方对物品X与Y的偏爱程度，满意度相同的点的集合构成无差别曲线。

设交换前甲占有物品X的数量为x₀，乙占有物品Y的数量为y₀。交换后的甲占有数量分别为x、y，乙占有数量分别为x₀-x、y₀-y。

将甲的无差别曲线族记作
$$f(x,y)=c_1$$

乙的无差别曲线记作
$$g(x,y)=c_2$$
将甲乙两人的无差别曲线放置在同一坐标系下

保持双方的有足够的交换满意度，可以得出：双方满意的交换方案应在曲线AB上，AB称为交换路径

根据等价交换准则确定交换方案，如下图

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3.汽车刹车距离与道路通行能力

3.1交通流的主要参数及基本规律

1. 主要参数

   • 流量q：某时刻单位时间内通过指定断面的车辆数（辆/h）

   • 速度v：某时刻通过指定断面的车辆速度（km/h）

   • 密度k：某时刻通过指定断面单位长度的车辆数（辆/h）

2. 基本规律

   q、v、k三者关系
   $$q=vk$$
   根据Greensheilds的统计分析，提出的线性模型
   $$\begin{gathered} v=v_f(1-k/k_j) \\ {v}_f是密度k=0时的车速，即理论最高时速 \\ {k}_j是速度为0时的密度，称为阻塞密度 \end{gathered}$$
   得到流量与密度的关系
   $$q=v_{f}k(1-k/k_j)$$
   流量与速度的关系
   $$q=k_{j}v(1-v/v_f)$$

3.2汽车刹车距离模型

​ 不考虑天气等因素

​ 刹车距离=反应距离+制动距离

3.3通行能力模型

​ 道路通行能力：单位时间内通过道路的指定断面的最大车辆数。

​ 道路通行能力在应该在安全条件下车辆密度最大，因此考虑到两辆车之间的最小间隔，有安全刹车距离决定。

​ 记车速为v（km/h），最小安全距离为D（km），有通行能力N
$$N=v/D$$

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4.评选举重总冠军

问题分析:
各个级别的举重冠军的评选标准不同，并且举重成绩与体重密切相关，因此需要建立一个体重和举重成绩之间的模型，折合成绩评选冠军。排除偶然性和其他因素的影响，将历届积累下来的世界纪录成绩作为标准是一个比较合适的方法。进一步的，数据还可以简化，选手的体重可以用该级别比赛的上限体重代替，抓举和挺举的单项成绩可以用总成绩代替，这样对模型的建立影响甚微。

模型建立：

• 线性模型

• 幂函数模型

  举重成绩y，体重w
  $$y=k{w}^{\frac{2}{3}}$$

• 优化幂函数模型

  考虑到举重过程中的力量损失和身体尺寸变化，w₀为非肌肉部分
  $$y=k(w-w_0{)}^{\gamma },\gamma <2/3$$

评选方法：

​ 定义建立的模型计算得到的理论举重成绩与实际举重成绩的比值为运动员的实力，则可以通过此数据评选。

​ 或者可以定义一个比例系数λ，折合成绩=λ实力。

更多实例 核军备、节水洗衣机……

以上为本章部分实例，初步掌握数学建模的思维方式。这仅仅是数学模型的冰山一角，但注意学习构建模型的思维过程，结合物理知识，实际背景，这是思考起点。