我的算法不可能这么简单—ST表
文章目录
- ST表
- 题目
-
- ST表的引出
- ST表实现
-
- 预处理
- 查询
- 例题总代码
- 额外经验
ST表
- ST表 （sparse table）即稀疏表
它可以在 O ( n l o g 2 n ) O(nlog_2 n) O(nlog2n)内预处理， O ( 1 ) O(1) O(1)内查询:
-
1. 区间最大值 2. 区间最小值 3. 区间最大公约数 4. 区间最小公倍数
满足吸收率的操作貌似都可以？ (吸收率，详见离散数学代数系统的吸收率)
- ST表为离线算法，因此区间给定后，不能进行修改，否则整张表将要重新计算，时间复杂度将会变得非常高。对于带有修改的操作可以使用线段树或树状数组。
那我还学什么ST表？树状数组它不香吗？ - ST表依旧被广为使用的原因是其优秀的时间复杂度，以及码量少。
其实树状数组的码量好像更少，但是权当学习倍增思想了。
题目
洛谷-> P3865 【模板】ST表
当然这道题用线段树、树状数组。
ST表的引出
我们以上面这道题为例，详细的引出ST表。
- 最好想的朴素算法
它查询哪个区间，我们直接循环遍历那个区间，求出最大值。
#include 很显然时间复杂度是 O ( n m ) O(nm) O(nm) 的，对这题来说，必超时。
我们考虑一下能不能优化一下。考虑到它的区间是不变的，我们可以进行打表，预处理出所有区间的最大值，查询的时候可以直接查出来。
- 打表优化(动态规划)
预处理出所有区间的最大值，查询的时候直接输出。
首先我们定义一个 i 行 j 列的数组 int ans[i][j] ，用来表示区间 [ i , j ] [i,j] [i,j] 的最大值。
我们需要找一下打表的方法（状态转移方程)
- 很显然当 i = = j i==j i==j 时
ans[i][j] = a[j]
- 由上图不难看出当 i ≠ j i ≠ j i=j 时，状态转移方程为
ans[i][j] = max(ans[i][j-1] , a[j]);
因此我们可以写出打表代码：
#include 对代码进行分析分析（
事实上这个代码在我电脑上根本运行不了，内存太大了），首先是空间复杂度，很显然的 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，其次是时间复杂度，刚开始进行了一次预处理，预处理是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的，然后进行了 m 次询问，所以总时间复杂度为 O ( n 2 + m ) O(n^2+m) O(n2+m) ，这个复杂度比朴素算法要好一些 (因为m比n大的多)，但是无论是空间还是时间都还是不能满足该题目。
我们需要继续优化，在上面的预处理中，我们可以发现，每次更新都只是将区间扩大了1个，这必然会导致非常多的重复值，我们能不能一次将区间扩大很多个，同时又能保证每个区间都能被覆盖到。于是乎考虑—倍增！千呼万唤始出来
ST表实现
首先定义一个数组 int ans[i][j] 其表示的意义不再是区间 [ i , j ] [i,j] [i,j]的最大值，而是借助了倍增思想，每次扩充 2 j 2^j 2j 个数，故表示的是从 i 开始长度为 2 j 2^j 2j 的区间 ， 即 [ i , i + 2 j − 1 ] [i,i+2^j-1] [i,i+2j−1] 这个区间的最大值。
预处理
现在我们来看一下倍增思想的预处理是什么样的。
- 很显然
ans[i][0]表示的是区间 [ i , i + 2 0 − 1 ] [i,i+2^0-1] [i,i+20−1] 即 [ i , i ] [i,i] [i,i] , 所以ans[i][0] = a[i] - 由于 a [ i ] a[i] a[i] 已经被用过了，所以我们可以知道 a n s [ i ] [ j ] ans[i][j] ans[i][j] 的转移方程不会再与 a [ i ] 或 a [ j ] a[i]或a[j] a[i]或a[j] 产生关系
- 我们需要找到两个已经处理完毕的区间，并且这两个小区间能够覆盖住新的更大的区间，很明显我们能够想到
ans[i][j-1]，通过上面的图我们可以找到另一块更小的区间 a n s [ i + 2 j − 1 ] [ j − 1 ] ans[i+2^{j-1}][j-1] ans[i+2j−1][j−1], 因此可以得到状态转移方程 ：ans[i][j] = max(ans[i][j-1],ans[i+(1<<(j-1))][j-1]) - 并且我们需要保证每次转移状态时 a n s [ i + 2 j − 1 ] [ j − 1 ] ans[i+2^{j-1}][j-1] ans[i+2j−1][j−1] 已经被更新过，因此我们的外层循环应该是 j ，而内层循环应该是 i，因为 i 更新的速度快。
于是我们的预处理代码为：
void proc(){
for(int i=1;i<=n;++i)
ans[i][0] = read; //ans[i][0] = a[i] 所以我们没有必要再开一个a数组，直接输入即可
for(int j=1;j<=log2(n);++j)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)//i+(1<
ans[i][j] = max(ans[i][j-1],ans[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
此时预处理的时间复杂度为 O ( n l o g 2 n ) O(nlog_2n) O(nlog2n)
查询
在上面我们已经预处理出了所有 [ i , i + 2 j − 1 ] [i,i+2^j-1] [i,i+2j−1]的区间。给定 l , r l,r l,r 我们怎么查询 [ l , r ] [l,r] [l,r]的最大值呢？
- 不妨以 [ 1 , 14 ] [1,14] [1,14] 来说明一下，为了查询我们需要将区间拆分成长度为 2 k 2^k 2k的小区间，不难算出 [ 1 , 14 ] = [ 1 , 8 ] ∪ [ 9 , 12 ] ∪ [ 13 , 14 ] [1,14] = [1,8] ∪ [9,12] ∪ [13,14] [1,14]=[1,8]∪[9,12]∪[13,14]
- 因此区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 的最大值为
max(ans[1][3],ans[9][2],ans[13][1]) - 而更一般的该如何拆分呢，考虑二进制， [ 1 , 14 ] [1,14] [1,14]区间长度为14，14的二进制为 1110，也即 14 = 2 3 + 2 2 + 2 1 14=2^3+2^2+2^1 14=23+22+21 ，这个时候你应该明白了我们的小区间是如何拆分的，事实上任何一个数 n 都能拆成形如 2 a 1 + 2 a 2 + 2 a 3 + . . . + . . . 2 a n 2^{a_1}+2^{a_2}+2^{a_3}+...+...2^{a_n} 2a1+2a2+2a3+...+...2an 的形式的
- 所以我们可以求出任何一个区间长度的形如上述的表示方法，然后求出所有小区间的最大值即为要求区间的最大值。
此时的单次查询时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)，总的时间复杂度为 O ( n l o g 2 n + m l o g 2 n ) O(nlog_2n+mlog_2n) O(nlog2n+mlog2n),此时仍不能达到通过题目的程度。我们在开始已经说过ST表查询时间复杂度可以达到 O ( 1 ) O(1) O(1)，我们需要继续优化。
事实上，我们真的有必要将区间划分为这么多的小区间来查询吗？
- 对于一段区间，拆分成这样
和拆分成这样
似乎没有什么区别，因为最大值满足吸收率，所以就算出现交集也不会影响到最终结果。所以我们根本没必要将区间划分成这么多份，而仅仅需要划分成两份即可。 - 假设区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 的长度为 s ，那么我们只要找到不大于 s 的最大的 2 k 2^k 2k ，然后将区间划分成为 [ l , l + 2 k − 1 ] , [ r − 2 k + 1 , r ] [l,l+2^k-1],[r-2^k+1,r] [l,l+2k−1],[r−2k+1,r] ，即可。
- 为什么非要找到不大于 s 的最大的 2 k 2^k 2k 呢，因为我们要保证 r − 2 k + 1 ≤ l + 2 k − 1 r-2^k+1≤ l+2^k-1 r−2k+1≤l+2k−1 ,即这俩区间必须能够覆盖住整个区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]
- 而要找到不大于 s 的最大的 2 k 2^k 2k ，直接使用
int k = log2(r-l+1)即可获得。 - 这样无论什么区间，我们只需要返回
max(ans[l][k],ans[r-(1<
查询代码：
int query(int l,int r){
int k = log2(r-l+1);
return max(ans[l][k],ans[r-(1<<k)+1][k]);
}
至此我们已经将ST表写完！读到这里，你应该已经懂得为什么ST表只能处理满足吸收率的运算，因为ST表查询的区间是重叠起来的 ! 因此不能用来查询区间和等问题。
例题总代码
#include - 但是由于
log2()的复杂度不明确，所以对于 m 次查询(而且m远远大于n)，我们没有必要每次都计算一个 log2(r-l+1) ，我们可以预处理出 1-n 的所有 log2 值，然后直接使用即可。 - 代码如下：
#include 时间大约提升了200ms
- 此外还有另一种预处理 log2() 的方式，利用递推思想，避免调用内置的
log2()函数：
递推式为：
- 代码如下：
#include 时间相对于 log2 的预处理提升了大约40ms，貌似意义不太大。
额外经验
P2251 质量检测
- 求区间最小值，只需把上面的max换成min即可
#include P2880 [USACO07JAN]Balanced Lineup G
- 求区间最大值与最小值之差，建两个表就行了，一个维护最大，一个维护最小
#include