已知圆心 坐标和一点坐标和角度 就之后的坐标_坐标系与参数方程主要考点的简单梳理...

前言

在现行的高考模式中，坐标系与参数方程只出现在选考题中，与不等式选讲（江苏卷还有矩阵与变换）并列，分值为10分。由于坐标系与参数方程的考点较为固定且思路更清晰易想，很多考生在考试中更愿意尝试坐标系与参数方程的选考题。

鉴于目前涉及坐标系与参数方程的选修4-4教材内容较为简单，而相应的教辅对高考内容来说又显得过于冗长，笔者希望通过这篇文章，对坐标系与参数方程的主干考点做一次梳理，其间穿插一些比较典型的例题加以巩固，尽可能为各位同学节省下复习的时间。

---

I.极坐标的基本概念

坐标系最开始是一种刻画点的位置与变化的参照物，它需要有一个标准的表述规则。

对于我们熟悉的平面直角坐标系，它的表述规则：

1.在平面内取一定点

，

点叫做原点。

2.过

分别引一条水平和竖直的数轴，分别叫做

轴，

轴，统称为坐标轴

3.选定长度单位，选定向右和向上的方向分别为

轴，

轴的正方向。

这种取定了原点、坐标轴、长度单位和坐标轴正方向的二维坐标系统就是平面直角坐标系

对于平面上任意一点

，有且只有一个有序实数对

与它一一对应。

图（1）平面直角坐标系

类似地，我们对极坐标系的表述规则：

1.在平面内取一定点

，

点叫做极点。

2.从

点起引一条射线

,这条从极点起的射线

叫做极轴。

3.选定单位长度，选定逆时针转角为角度的正方向。

这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系统叫做极坐标系。

对于平面上的一点

连接极点

与

，线段

之长

叫做

点的极径（或称矢径、向径)，以极轴

为始边按逆时针转到

角

叫做

点的极角，有序数对

叫做M点的极坐标。

若无特别说明，

当

时，平面上的点与极坐标一一对应。

图（2）极坐标系

例1：已知点

的极坐标为

，那么过点

且垂直于极轴所在直线的直线的极坐标方程为_______________.

简析：如图（3），设直线

上一点为

,由图可知

=

，故

图（3）

极坐标系是一种二维坐标系，它和平面直角坐标系分别以不同的视角刻画一个点的位置。换句话说，对于平面上一个确定的点，我们既可以用极坐标系刻画它，也可以用平面直角坐标系刻画它，那么该点对应的极坐标和平面直角坐标必然存在一定的关系。

---

II.极坐标与平面直角坐标互化公式

把极轴和平面直角坐标系

的

轴正半轴重合，且两坐标系取相同的单位长度，那么对平面上的任意一点

,如图（4），有

图（4）

（1）式就是点的直角坐标与极坐标之间的换算公式，对其进行推广就能得到对同一曲线的方程的互化公式。

例2：在直角坐标系

中，以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为

。求

的直角坐标方程。

解：由

得

的直角坐标方程为

即

---

III.参数方程的概念

形如

或

的曲线方程称为曲线的普通方程。

一般地，在取定的平面直角坐标系

中，如果一条曲线

上任意一点的坐标

的每个 分量都是某个变量

的函数，即

且对于

的每一个允许值，由方程组（2）确定的点

在

上，则称（2）为曲线

的参数方程。其中联系

之间关系的中介变量

称为参数方程的参变量，简称参数。

参数方程的参数常见的是取有物理学意义的时间

或代表几何量的角度

参数方程在物理学上的应用广泛。我们熟悉的斜抛运动就常用参数方程描述。另外，参数方程的好处还在于它易于建立，对于很多变换复杂的曲线（如各种摆线），直接用普通方程描述是十分困难的，甚至在参数方程已经求出后化为普通方程也是十分不易的。

---

到目前为止我们已经了解了坐标系与参数方程的最基本概念，知道极坐标系和平面直角坐标系都能用来描述点的位置，也知道普通方程和参数方程都可以用来描述一条曲线。接下来，我们以直线和曲线为研究对象，对三种方程形式：直角坐标方程、极坐标方程和参数方程的相互关系做进一步的认识。

图（5）

---

IV.直线和常见曲线的极坐标方程与参数方程

一、过极点的直线的极坐标方程

规定

可以取负值，则过极点与

轴夹角为

的直线

的极坐标方程

在过极点的直线上的点极角就是

,这个特点经常使用

二、 圆心在极点且半径为

的圆的极坐标方程

三、直线的标准参数方程

如图（6），已知直线

上 一定点

,

与

轴正半轴夹角为

,设

是这条直线上的一个动点。

图（6）

当

时

同理，当

时

用参数

代替

，得过定点

,与

轴正半轴所成角

直线

的 参数方程

其中

,t为参数。形如（3）式的直线参数方程是标准形式。之所以称之为标准是因为这种形式中参数

是具有一定应用意义的。详情见下文。

四、圆和椭圆的参数方程

用类似于直线的参数方程的构造形式，不难得出圆心

，半径为

的圆的参数方程：

其中

为参数。

对于一个椭圆

，设其直角坐标标准方程

,则

,这样的量满足三角函数的特点，令

,代回原方程可得椭圆的参数方程：

其中

为参数。

五、其他曲线 的极坐标方程和参数方程转化

对其他曲线（如圆、圆锥曲线）的极坐标方程，一般采用互化公式转化

对其他曲线 的参数方程，一般通过观察和利用

进行转化

例3：（1）在平面直角坐标系

中，曲线

的 参数方程

说明

是哪一种曲线，并将

的方程化为极坐标方程

解：两式平方，得

相加可得

是以

为圆心，以

为半径的圆，将

代入

的普通方程中，得到极坐标方程：

(2)在直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

,求曲线

的直角坐标方程。

解：考虑到分母都比较复杂，我们希望将分子也化成和分母一样的形式 以消去复杂的分母 ，由于

，可得

于是

,又考虑到

分离参数后得

于是

,综上，

的直角坐标方程

简析：（1）极坐标方程和参数方程以直角坐标方程为桥梁相联系（2）这种以

为参数的曲线参数方程直接消参实际上并不容易，可以先在草稿纸上猜一猜它的原型曲线。

可以看到，极坐标方程和参数方程之间是以直角坐标方程为纽带的。也就是说，对一个极坐标方程（或参数方程），我们通常先将它化为直角坐标方程，再进一步将它转化为其他的形式，利用其特别的优点帮助解题（如图（7））。实际上，高考的命题也基本按照这种思路。

图（7）坐标系与参数方程的“噬菌体”框架图

在了解了不同方程形式的转换方法后，类似于直角坐标方程，我们要应用不同的方程解决解析几何里常见的 一些问题。

---

V.参数方程参数

和

的几何意义

前面我们已经推导 出了 直线的标准参数方程

，如图（8),回顾我们的推导过程，可知直线上一点

到直线上一异于点

的定点

的距离

,其中

为点

对应的参数。同理可得点

到

的距离

，其中

为点

对应的参数。

进一步的，我们有：

两点的距离

特别地，当一个直线和一个圆锥曲线的参数方程联立后可得到一个关于

的一元二次方程，由韦达定理可解得

，此时得到的

是直线与圆锥曲线所截得的弦长

点

的中点

对应的参数

，特别地，当定点

是

的 中点时，有

图（8）

圆锥曲线参数方程常见的参数

也有它的几何意义，这里以椭圆为例，如图（9）

图（9）

以椭圆的长轴长为直径，中心为圆心做

，过椭圆上任意一点

做

轴上的垂线交圆

于点

（

与

在同一象限），则

轴正半轴与点

所成角

叫做椭圆上点

的 离心角，以离心角为参数可得到椭圆的参数方程。

例4：在直角坐标系

中，曲线

的直角坐标 方程

直线

的 参数方程

，若曲线

截直线

所得线段的中点坐标为

,求

的斜率

解：将

的 参数方程 代入

的直角坐标方程，得到关于

的 方程

，观察中点坐标和直线参数方程的特点可知直线方程所过定点恰是线段的中点，由韦达定理

于是

所以

例5：若直线

和圆

交于

两点，则线段

的中点坐标为_______.

解：将直线的参数方程代入圆的方程得

，所以线段

的中点对应的参数

，将

代回原参数方程，得对应坐标

简析： 这类涉及参数方程和中点的试题需要特别注意中点和直线所过定点的关系

---

VI.用参数法解决点到直线距离最值问题

参数方程除了可以直接利用的几何意义以外还可以很方便地用来表示曲线上的任意一点的坐标。

在一般的直角坐标方程中，求曲线上一点到定直线的距离的最值时经常将它转化为过该点的切线到定直线的距离问题。而在参数方程中，我们可以利用参数求最值。最常见的情况是三角函数求最值。

例6：求

上的点到直线

距离的最小值

解：设

的参数方程为

，

上的点到

的距离为

结合三角函数图像可知当

时，

取得最小值7，于是

上的点到

距离的最小值为

---

VII.极径

的几何意义

在极坐标系中，设过极点

的直线

与一个圆锥曲线

分别交于两点

，分别代入

得点的对应极径，则弦长

例7：已知曲线

的极坐标方程

，若直线

的极坐标方程

，射线

与曲线

交于点

，与直线

交于点

，求线段

的长

解：联立

，得

由

，可得

所以

的极坐标

同理，联立

，解得

于是

的极坐标

所以

简析：本题也可以将极坐标方程统一化为直角坐标方程求交点

---

VIII.极坐标方程求交点

例8：在极坐标中，设曲线

的极坐标方程为

，设

,

为

与

的交点，求

的极径

解：联立

，得

,

解得

代入曲线

，得

，所以交点的极径

简析：也可将曲线和直线都化成直角坐标方程，联立求交点，这样技巧性要求比较低

---

IX.极坐标求面积最值

例9：在直角坐标系

中，以坐标原点的极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为

（1）

为曲线

上的动点，点

在线段

上，且满足

，求点

的轨迹

的直角坐标方程

（2）设点

的极坐标为

，点

在曲线

上，求

面积的最大值

解：（1）设

的极坐标为

，

的极坐标为

由已知得

又由

得

于是

的直角坐标方程为

（2）设点

的极坐标

由已知得

于是

的面积

当

时，

取得最大值

所以面积的最大值为

简析：本题第二小问给出了一个点的极坐标和一条曲线的极坐标方程和直角坐标方程，也可以将极坐标化为直角坐标，将直角坐标化为参数方程，用参数法求面积，但显然转换比较繁琐。

从以上极坐标的应用举例可以发现极坐标和直角坐标在很多情况下“殊途同归”，而极坐标为传统的直角坐标解法提供了新思路和一定程度上的优化。一般情况下，涉及到过原点的直线时通常会用到极坐标。

---

小结

通过以上的一些例子，我们终于可以将坐标系与参数方程的框架图补充完整。（如图（10）

）可以看到，高考对该内容的考察范围限定在直线、圆和圆锥曲线内，主要集中考察三种方程形式的转化（第一小问）和非直角坐标方程形式的一些简单的应用（第二小问）。应用也相对固定：利用几何意义、参数法、设点联方程。主要凸显的是极坐标和参数方程的工具作用。

图（10）坐标系与参数方程框架图完全体

如果您觉得这篇文章还不错，不妨分享给其他同学。