约瑟夫环

描述：

这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。 —— 【约瑟夫问题】

解法：参考 Sweetiee的LeetCode题解
因为数据是放在数组里，所以我在数组后面加上了数组的复制，以体现是环状的。我们先忽略图片里的箭头：

很明显我们每次删除的是第 m 个数字，都标红了。

第一轮是 [0, 1, 2, 3, 4] ，所以是 [0, 1, 2, 3, 4] 这个数组的多个复制。这一轮 2 删除了。

第二轮开始时，从 3 开始，所以是 [3, 4, 0, 1] 这个数组的多个复制。这一轮 0 删除了。

第三轮开始时，从 1 开始，所以是 [1, 3, 4] 这个数组的多个复制。这一轮 4 删除了。

第四轮开始时，还是从 1 开始，所以是 [1, 3] 这个数组的多个复制。这一轮 1 删除了。

最后剩下的数字是 3。

图中的绿色的线指的是新的一轮的开头是怎么指定的，每次都是固定地向前移位 mm 个位置。

然后我们从最后剩下的 3 倒着看，我们可以反向推出这个数字在之前每个轮次的位置。

最后剩下的 3 的下标是 0。

第四轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 22，位置是(0 + 3) % 2 = 1。

第三轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 33，位置是(1 + 3) % 3 = 1。

第二轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 44，位置是(1 + 3) % 4 = 0。

第一轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 55，位置是(0 + 3) % 5 = 3。

所以最终剩下的数字的下标就是3。因为数组是从0开始的，所以最终的答案就是3。

总结一下反推的过程，就是 (当前index + m) % 上一轮剩余数字的个数。

题目描述：剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

限制：
1 <= n <= 10^5
1 <= m <= 10^6

示例 1：
输入: n = 5, m = 3
输出: 3

示例 2：
输入: n = 10, m = 17
输出: 2

代码如下：

class Solution {
     
    public int lastRemaining(int n, int m) {
     
        int ans = 0;
        // 最后一轮剩下2个人，所以从2开始反推
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
     
            ans = (ans + m) % i;
        }
        return ans;
    }
}

执行结果：