牛客题 - 又见斐波那契 （矩阵快速幂）

又见斐波那契

题目链接：2018年湘潭大学程序设计竞赛 - 又见斐波那契

题意

给定递推式

求F(n)的值，由于这个值可能太大，请对109+7取模。

---

思路

因为数据范围非常大（10的18次方）所以，一定存在O(1)或者O(logn) 的算法的，而在(logn)中我们最可能用到的就是快速幂了，这个比较复杂一些，需要用到矩阵快速幂。

那么如何得到矩阵快速幂呢，这就需要一些技巧

这A就是我们要求的矩阵，只要得到了这个A的值，后面就是简单的快速幂了

从上图可以看出来每个第一列的函数其实都可以由第二列组合而来，例如(i+1)³ = i³ + 3i² + 3i + 1而来的，根据这个系数，我们就可以在A中特定的位置上填上自己的值

由此可以得出矩阵A的值

ll A[6][6]={
    {1,1,1,1,1,1},
    {1,0,0,0,0,0},
    {0,0,1,3,3,1},
    {0,0,0,1,2,1},
    {0,0,0,0,1,1},
    {0,0,0,0,0,1},
};

那么问题就解决了

---

代码

#include
using namespace std;
const int mod=1000000007;
struct qx
{
   long long ma[6][6]=
    {
       {1,1,1,1,1,1},
       {
    1,0,0,0,0,0},
       {
    0,0,1,3,3,1},
       {
    0,0,0,1,2,1},
       {
    0,0,0,0,1,1},
       {
    0,0,0,0,0,1}
    };
};
void create(qx &in)
{
    in.ma[0][0]=1;
    in.ma[1][0]=0;
    in.ma[2][0]=8;
    in.ma[3][0]=4;
    in.ma[4][0]=2;
    in.ma[5][0]=1;
}
qx qu(qx a,qx b,int g,int h,int p)
{
    qx res;
    for(int i=0;ifor(int j=0;jma[i][j]=0;
            for(int k=0;kma[i][j]+=(a.ma[i][k]*b.ma[k][j])%mod;
            }
            res.ma[i][j]%=mod;
        }
    }
    return res;
}
qx  pow11(long long x)
{
    qx b,res;
    while(x)
    {
        if(x&1)
        {
           res=qu(res,b,6,6,6);
        }
        b=qu(b,b,6,6,6);
        x=x>>1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    long long T,n;
    cin>>T;
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
         cin>>n;
         if(n==1||n==0)
         {
             cout<continue;
         }
         qx initial;
         create(initial);
         qx ans=qu(pow11(n-2),initial,6,6,1);
         cout<ma[0][0]<return 0;
}