LeetCode总结 -- 数值计算篇

数值计算在工业界是非常实用而且常见的具体问题, 所以在面试中出现频率非常高, 几乎可以说是必考题目。 LeetCode中关于数值运算的有以下题目： 
Palindrome Number
Reverse Integer
Sqrt(x)
Pow(x, n)
Divide Two Integers
Max Points on a Line
在LeetCode中， 关于数值运算的题目分为三种类型， 下面将进行一一讲解。 

第一种类型是最简单的， 就是对整数进行直接操作， 一般来说就是逐位操作， 比如反转， 比较等。 LeetCode中这类题目有 Palindrome Number 和 Reverse Integer 。 这类题目通常思路很清晰， 要注意的点就是对于边界情况的考虑， 对于数值而言， 主要问题是对于越界情况的考虑。 实际上越界问题是贯穿于所有数值计算题目的常见问题， 下面大多问题都会强调这点。 
在 Palindrome Number 中因为只是进行判断， 并不需要修改数字， 所以没有越界问题。 思路比较简单， 就是每次取出最高位和最低位进行比较， 直到相遇或者出现违背条件（也就是不相等）即可返回。 对于 Reverse Integer 因为需要对数字进行反转， 所以需要注意反转后的数字可能会越界。 对于越界一般都是两种处理方法， 一种是返回最大（或者最小）数字， 一种则是抛出异常， 这个可以跟面试官讨论， 一般来说， 面试只要简单的返回最大最小或者dummy数字就可以了， 但是处理和检查这种corner case（也就是越界）的想法一定要有和跟面试官讨论。 

第二种题型是算术运算的题目， 比如乘除法， 阶乘， 开方等， LeetCode中这类题目有 Sqrt(x) ，  Pow(x, n) 和 Divide Two Integers 。 这种题目有时候看似复杂， 其实还是有几个比较通用的解法的， 下面主要介绍三种方法： 
（1）二分法。 二分法是数值计算中很常用和易懂的方法。 基本思路是对于所求运算进行对半切割， 有时是排除一半， 有时则是得到可重复使用的历史数据。 Sqrt(x) 就是属于每次排除一半的类型， 对于要求的开方数字进行猜测， 如果大于目标， 则切去大的一半， 否则切去大的一半， 原理跟二分查找是一样的。 Pow(x, n) 则是属于重复利用数据的类型， 因为x的n次方实际上是两个x的n/2次方相乘， 所以我们只需要递归一次求出当前x的当前指数的1/2次方， 然后两个相乘就可以最后结果。 二分法很明显都是每次解决一半， 所以时间复杂度通常是O（logn）量级的。 
（2）牛顿法。 这种方法可以说主要是数学方法， 不了解原理的朋友可以先看看 牛顿法-维基百科 。  Sqrt(x) 就非常适合用牛顿法来解决， 因为它的递推式中的项都比较简单。  Pow(x, n) 当然原理上也可以用牛顿法解答， 但是因为他的递推式中有项是进行x的开n次方的， 这个计算代价也是相当大的， 如果为了求x的n次方而去每一步求开n次方就没有太大实际意义了， 所以对于这种题我们一般不用牛顿法。 
（3）位移法。 这种方法主要基于任何一个整数可以表示成以2的幂为底的一组基的线性组合， 对一个整数进行位数次迭代求解， 因为复杂度是位数的数量， 所以也跟二分法一样是O（logn）量级的。  Pow(x, n) 和 Divide Two Integers 就是比较典型可以用这种方法解决的题目。 对于 Pow(x, n) 可以把n分解成位， 每次左移恰好是当前数的平方， 所以进行位数次迭代后即可以得到结果， 代码中很大的篇幅都是在处理越界问题， 而关于逐位迭代代码却很简短。  Divide Two Integers 同样把结果分解成位， 每次对除数进行位移并且减去对应的除数来确定每一位上的结果。 这种方法可能理解起来没有二分法那么直观， 还是要消化一下哈。 

第三种题目是解析几何的题目， 一般来说解析几何题目的模型都比较复杂， 而且实现细节比较多， 在面试中并不常见， LeetCode中也只有 Max Points on a Line 是属于这种题型。 这种题目没有什么通法， 主要就是要理清数学和几何模型， 比如 Max Points on a Line 中主要是理解判断点在直线的判断公式， 然后进行迭代实现。 实现细节还是比较多的， 需要对一些边界情况仔细考虑。 

这篇总结主要列举了LeetCode中关于数值计算的题目， 介绍了这类问题的主要考点（比如越界判断）和常用的几种实用方法， 总体感觉这类问题是在面试中比较难很快写对的题目， 因为有一些边界情况和数值实现的细节。 因为出现频率很高， 还是需要对这类题目重点练习哈。