快速幂、快速幂求逆元

快速幂：

求$a^b\%p$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,a,b,p;
LL qmi(int a,int b,int p){
     
    LL res=1%p;
    while(b){
     
        if(b&1) res=res*a%p;
        a=a*(LL)a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
     
    cin>>n;
    while(n--){
     
        cin>>a>>b>>p;
        cout<<qmi(a,b,p)<<endl;
    }
}

求逆元：

乘法逆元定义：
如果$b,m$互质,$b\mid a$,则存在一个整数$x$使得
$$\frac{a}{b}\equiv a\ast x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
则称$x$为$b$模$m$的乘法逆元记为$b^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

性质：$b\ast b^{-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

$b,m$不互质不存在逆元

$b$存在乘法逆元的充要条件是$b$与模数$m$互质。当模数$m$为质数时，$b^{m-2}$即为$b$的乘法逆元。

证明：

因为m是质数，由费马小定理
$$b^{m-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
拆出一个$b$
$$b\ast b^{m-2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
所以逆元$x=b^{m-2}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int t,a,p,b;
LL qmi(int a,int b,int p){
     
    LL res=1;
    while(b){
     
        if(b&1) res=res*a%p;
        a=a*(LL)a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
     
    cin>>t;
    while(t--){
     
        cin>>a>>p;
        if(a%p==0) puts("impossible");
        else cout<<qmi(a,p-2,p)<<endl;
    }
}