使用scipy求解带约束最优化问题

在看李航老师的《统计学习方法》时，想把例7.1通过代码实现，有了这篇博客。

1、求解思路

使用scipy中的minimize函数求解最优化问题的形式如下：

其中$x$是一个向量，$g_i(x)$是非等式约束，$h_j(x)$是等式约束。

例7.1中的优化问题如下：

刚好能够带到式子里面，下面是代码：

from scipy.optimize import minimize
import numpy as np 

#目标函数
fun=lambda x: 0.5*(x[0]*x[0]+x[1]*x[1])
#约束条件
cons=(
    {
     'type':'ineq','fun':lambda x: 3*x[0]+3*x[1]+x[2]-1},
    {
     'type':'ineq','fun':lambda x: 4*x[0]+3*x[1]+x[2]-1},
    {
     'type':'ineq','fun':lambda x: -x[0]-x[1]-x[2]-1}
)
#w1,w2,b初始值
x0=np.array([0]*3)
#结果
res=minimize(fun,x0,method='SLSQP',constraints=cons)
print(res)

程序运行结果：

     fun: 0.25000000000000056
     jac: array([0.50000001, 0.50000001, 0.        ])
 message: 'Optimization terminated successfully.'
    nfev: 10
     nit: 2
    njev: 2
  status: 0
 success: True
       x: array([ 0.5,  0.5, -2. ])

2、minimize函数讲解

scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)

函数官网链接：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.minimize.html#scipy.optimize.minimize

我这里只列几个常用的参数：

method常用的有BFGS, L-BFGS-B, SLSQP，分别的含义如下：

• SLSQP：使用顺序最小二乘编程（SLSQP）最小化一个或多个变量的标量函数；
• BFGS：使用BFGS算法最小化一个或多个变量的标量函数；
• L-BFGS-B：使用L-BFGS-B算法最小化一个或多个变量的标量函数。

constraints定义了约束条件，每个约束定义为一个词典，键值对如下：

• fun：约束函数；
• type：约束类型，‘eq’是等式约束，‘ineq’是不等式约束；

函数的返回值是一个OptimizeResult对象，各属性如下：

• x: ndarray
  The solution of the optimization.

• success: bool
  Whether or not the optimizer exited successfully.

• status: int
  Termination status of the optimizer. Its value depends on the underlying solver. Refer to message for details.

• message: str
  Description of the cause of the termination.

• fun, jac, hess: ndarray
  Values of objective function, its Jacobian and its Hessian (if available). The Hessians may be approximations, see the documentation of the function in question.

• hess_inv: object
  Inverse of the objective function’s Hessian; may be an approximation. Not available for all solvers. The type of this attribute may be either np.ndarray or scipy.sparse.linalg.LinearOperator.

• nfev, njev, nhev: int
  Number of evaluations of the objective functions and of its Jacobian and Hessian.

• nit: int
  Number of iterations performed by the optimizer.

• maxcv: float
  The maximum constraint violation.

3、参考资料

Python——使用scipy求解带约束的最优化问题
机器学习核心：优化问题基于Scipy