【现代控制理论_B站网课】复习课

现代控制理论复习课

一、线性系统的状态空间描述

1. 状态空间的基本概念

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$
$$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

2. 状态空间模型的建立（考点）

1) 机理建模（直接法）

2) 由微分方程或传递函数转化(转化法)

(1) 由微分方程建立状态空间表达式

(2) 由系统传递函数建立状态空间表达式(串联分解)

(3) 由系统传递函数建立状态空间表达式(单实极点)

3. 状态方程的求解(考点)

4. 状态转移矩阵的性质(考点)

5. 系统的传递函数矩阵(考点)

二、线性系统的可控性和可观测性

1. 系统可控性与可观测性的概念

• 可控性：输入是否能改变状态。
• 可观性：输出是否能观测状态。

2. 系统可控性与可观测性的判据(考点)

1) Gram 矩阵判据

2) 秩判据

• 可控性要求行满秩：$rank[BAB\cdots A^{n-1}B]=n$
• 可观性要求列满秩：$rank\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]=n$

3) PHB 判据

4) 约当规范型判据

• 可控(观)性：
  • 每个约当块末行(首列)所对应 B 阵的行(列)不为全零行(列)。
  • 同一特征值的不同约当块末行(首列)所对应 B 阵的行(列)线性无关。

举例

• 可控性：
  
• 可观性：
  

3. 系统的非奇异线性变换

把 A 阵转化为对角型或者能控规范型。

1. 变换前后系统的特征值不变；
2. 变换前后系统传递函数矩阵不变；
3. 变换前后系统的可控性、可观测性不变。

三、线性系统的稳定性

1. 稳定性的相关概念

2. 稳定性的判据

1) 线性定常系统稳定性的特征值判据（第一法、间接法）

2) 第二法、直接法

3. 内部稳定与外部稳定的概念

• 外部稳定：有界输入——有界输出稳定（与传递函数极点有关）。
• 内部稳定：系统内部状态是否收敛（与系统矩阵 A 的特征值有关）。
• 注：传递函数极点是系统矩阵 A 的特征值的子集。

四、状态反馈与全维状态观测器

1. 状态反馈

• 系统可控是 $A-BK$ 的极点可以任意配置的前提条件。

例题

2. 全维状态观测器

例题