【算法】单源最短路径——dijkstra算法

一,概念

单源最短路径
给定一个带权有向图G=（V,E），其中每条边的权是一个实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。要计算从源到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

dijkstra算法简介
迪杰斯特拉算法(Dijkstra),是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

需要注意的是，dijkstra算法只能解决正权图问题，而要解决负权图，则需要另外一种办法SPFA算法，但是SPFA算法我还不熟，本次只讲dijkstra算法

二.分析dijkstra思想

假设有这么一个图

现在我们要求1到各个顶点的最短路径
1->1间的最短路径不用想了，肯定是0
1->2之间的最短路径很明显只有一条1->2，距离为2
1->3之间，有两条路径，一条是1->3，一条是1->2->3，因为1->3之间的距离为5，而1->2->3的距离为4，所以1->3的最短路径为4
1->4之间有三条路径，分别是1->2->4, 1->4, 1->3->4，而三条路线中，最短的那条线为1->2->4，距离为3
至此所有的最短路径就都求出来了

看完是不是发现dijkstra算法的思想也不是那么难呢？原理都知道了那么我们该怎么编写代码？

三.dijkstra的编写

dijkstra的步骤如下

1. 初始化dis[start]=0
2. 找出一个与start点距离dis最小的未确定最短路径的点x，标记它为已经确定的点
3. 遍历所有以x为起点的边得到(x, y, d),如果dis[y] > dis[x] + d, 则更新dis[y] = dis[x] + d
4. 重复2，3步直到所有的点都被标记为确定最短路径的点

dijkstra算法为什么正确？
当所有的边长为非负数的时候，全局最小值不可能被被其他结点更新，所以我们在第二步中从源点出发找dis值最小的值必然是与源点的最短路径，然后在不断的选择全局最小值来拓展，得到的最短路径必然正确

我们看下面这个图

我们一开始先将源点1加入已经确定的点（红点），然后将所有相连的点标记为待处理的点（绿点），更新每个dis值

然后我们从dis值最小的结点2开始拓展，此时必然为1->2的最短路径，标记点2为红点

然后将与结点2的所有点遍历，更新对应的dis值

从与点2距离最短的4开始拓展，因为此时距离已经最小，所以标记为红点

因为点4没有出边，所以直接跳回结点2，此时只有点3为待处理的点

至此源点到所有的点的最短路径都确定了

三.dijkstra的堆优化

按照上面的方法直接编写的话，时间复杂度会高达O(n^2)，在某些情况可能会不够，那么我们是否有O(nlogn)算法的写法呢？通过观察，这时候我们可以发现，在第2步的查找与start点距离最小的点我们可以优化。那个用什么优化呢？

这时候我们可以使用堆去优化它。
可以定义一个优先队列q，设dis值小的优先级高，这样我们可以用q.top()来通过O(logn)的时间复杂度找到dis值最小的点,而原本查找最小dis值点需要的时间复杂度为O(n)

四.关于存图

通常来说，在算法比赛我们通常都是用链式前向星法来储存
这里简单说一下，就不扩展了

这是关于边的信息

int head[MAXN<<1];//head[i]表示以i为头结点的边的第一条边所在的位置
struct Edge {
     //在边(u,v)中
	int to;//to就是v
	int next;//next就是下一条(u,?)的位置
	int dis;//边(u,v)的长度
} e[MAXM<<1];//e[i]：第i条边的信息

这是存边的方式

void addEdge(int u,int v,int d)
{
     
	cnt++;//第cnt条边，初始值为0
	e[cnt].dis=d;//第cnt条边的权值
	e[cnt].to=v;//第cnt的出边
	e[cnt].next=head[u];//下一条边在e数组上的索引
	head[u]=cnt;//以u为起点的边，为最后一条存进的在e数组上的索引
}

五.例题

接下来让我们照惯例的写一下模板题来练练手吧，只看不写是永远学不会的!

传送门

描述:有一个邮递员要送东西，邮局在节点 1。他总共要送 n-1 样东西，其目的地分别是节点 2 到节点 n。由于这个城市的交通比较繁忙，因此所有的道路都是单行的，共有 m 条道路。这个邮递员每次只能带一样东西，并且运送每件物品过后必须返回邮局。求送完这 n-1 样东西并且最终回到邮局最少需要的时间。

输入格式
第一行包括两个整数，n 和 m，表示城市的节点数量和道路数量。

第二行到第 (m+1) 行，每行三个整数，u,v,w，表示从 u 到 v 有一条通过时间为 w 的道路。

输出格式
输出仅一行，包含一个整数，为最少需要的时间。

下面是题解

可能有的人一开始看这题目会有点蒙蔽，但其实仔细想想，送一件信我们都是从1->n，然后再从n->1返回吗？这其实不就是先求出1->n的最短路径，然后又求n->1的最短路径吗。所以只是正着来一次dijkstra，反着来一次dijkstra就行了

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int MAXN = 1000 + 5;
const int MAXM = 100000 + 5;
typedef long long LL;
struct Edge {
     
	int to;
	int next;
	int dis;
} e[MAXM<<1];
int head[MAXN<<1],vis[MAXN<<1],dis[MAXN<<1];
int n,m,cnt;

void addEdge(int u,int v,int d)
{
     
	cnt++;
	e[cnt].dis=d;
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}
//堆优化
struct node {
     
	int dis;
	int pos;
	bool operator < (const node& x)const {
      
		return x.dis < dis;
	}
};

priority_queue<node>q;
//
void dijkstra(int s)//计算1到各点的最短路径
{
     
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=1; i<=n<<1; i++) {
     
		dis[i]=0x3fffffff;
	}
	dis[s]=0;
	q.push({
     0,s});
	while(!q.empty()) {
     
		node temp = q.top();
		q.pop();
		int x = temp.pos, d = temp.dis;
		if(vis[x])continue;
		vis[x]=1;
		for(int i=head[x]; i; i=e[i].next) {
     
			int y=e[i].to;
			if(dis[y]>dis[x]+e[i].dis) {
     
				dis[y]=dis[x]+e[i].dis;
				if(!vis[y]) {
     
					q.push({
     dis[y],y});
				}
			}
		}
	}
}



int main()
{
     
	cin>>n>>m;
	int u,v,d;
	for(int i=1; i<=m; i++) {
     
		scanf("%d %d %d",&u,&v,&d);
		addEdge(u,v,d);//1->n 
		addEdge(v+n,u+n,d);//n->1 //这样不需要开两个数组（
	}
	LL ans = 0;
	dijkstra(1);
	for(int i=1;i<=n;i++)ans+=dis[i];
	dijkstra(1+n);
	for(int i=1+n;i<=n<<1;i++)ans+=dis[i];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

最后，欢迎提意见哦！觉得有帮助的话就支持一下我吧！