复分析－欧拉公式的几何解读

常用的复数表达方式有很多种，比如最常见的一种

 

还有一种类似于极坐标的表达方式

但是还有一种工程中应用最广发，最漂亮，奇迹般的表达方式，它就是大名鼎鼎的欧拉公式：

这个公式是欧拉再1740年左右发现的，那个时候乾隆才当了４年皇帝．

下面用运动的方式来图形化演示欧拉公式到底说了什么

回忆一下一个基本的事实，是它自身的导数，也就是

虽然是推导出来的，但是在微积分中，这是一个可以拿来作为定义的事实，也就是说，如果有人说一个函数满足

并且

那么可以肯定的得到结论：

类似的，如果是一个实常数，则和下面的条件等价

并且

为了把通常的指数函数从的实数域推广到虚数值，我们可以抓住这一点不放，坚定认定，当时，此式为真，即:

实函数的导数理解为斜率，但是怎样理解虚函数的求导呢？

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还记得在高等数学中，老师介绍微积分的时候，是通过速度，位移引入的，速度和位移同样都是矢量，可以用复数表示．

是位移．

所以，无论是实数域还是复数域，给定了一个自变量的复函数，总可以把看成是运动过程中动点的位置，运用求导的方法，得到它的矢量速度．

把这个想法应用到

上面，

上面的式子得到一个结论，就是速度始终和位置大小相同，但是垂直于当前的位置．

我们知道初始位置的值是

所以运动过程的初始速度是,也就是垂直向上运动，一段时间后，将运动到新的位置，而新位置的速度与新位置的向量仍然成直角，按照此种方法构造的运动，很明显，将会是如下方式的圆运动：　

 

接下来看一下，为什么一定要是指数才可以呢？其它的实数为什么不行呢，的特殊性究竟再哪里呢？

对于

如果

 则

恰好是欧拉公式，我们看一下当的时候，运动图像会有什么不同:

 

从动图可以看出，点在区间

运动时，只有，也就是红色的向量，围绕原点运动了整整一圈,由于角速度过大，围绕原点超过了１圈，而则由于角速度过小，当自变量A变动一周后，像点运动不到一圈．

特别的，当A运动到点时，恰好运动到负实轴的-1，也就是

就是号称世界上最美公式的欧拉公式！

如果指数用复数代替纯虚数，则可以写成

下图表示当时，

随着级数的增加，级数和螺旋式样收敛于 e圆上，其与远点的距离为,角度为弧度．对于z=1+2i的情况，2 弧度=114.59156 度，收敛于e圆上．

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结束！