二分法:每次搜索时通过将搜索区间分成两部分并只取一部分搜索,将搜索的复杂度减少,对于一个为n长度的区间,时间复杂度为O(logn)
求开方、搜索区间、旋转数组
实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根,其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数,结果只保留整数的部分,小数部分将被舍去。
示例 1:
输入: 4
输出: 2
来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx
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把题想象成一元二次方程求解, f ( x ) = x 2 − a = 0 , 且 x > = 0 f(x) = x^{2}-a=0,且x>=0 f(x)=x2−a=0,且x>=0 的解,所以 f ( x ) f(x) f(x)在定义域上是单调递增,考虑到 f ( 0 ) = − a < 0 , f ( a ) = a 2 − a > 0 f(0) =-a<0,f(a)=a^{2}-a>0 f(0)=−a<0,f(a)=a2−a>0 ,因此考虑区间为 [0,a],对 [0,a] 区间使用二分法查找 f ( x ) = 0 f(x) =0 f(x)=0 的解
步骤:
class Solution:
def mySqrt(self, x: int) -> int:
if x == 0: return 0
l,r = 0,x #初始化区间[l,r]
while l <= r :
mid = (l+r)/2 #二分区间
if x < mid * mid: #中间大于,则取小的左部分
r = mid - 1
elif x > mid * mid: #中间小于,则取大的右部分
l = mid + 1
else:
return mid
return r
其实可以考虑牛顿迭代法,更为简单(不详细介绍了)
class Solution:
def mySqrt(self, x: int) -> int:
a = x
while a * a > x:
x = (x+a/x)/2
return x
给定一个按照升序排列的整数数组 nums,和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target,返回 [-1, -1]。
进阶:
你可以设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题吗?
示例 1:
输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出:[3,4]
来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array
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二分查找,搜索重复数字的左右边界。
步骤:
class Solution:
def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
# 二分查找,搜索左右边界
if not nums:
return [-1, -1]
return [self.search_left(nums, target), self.search_right(nums, target)]
def search_left(self, nums, target): #搜索左边界
l, r = 0, len(nums) - 1
while l <= r:
mid = l + (r - l) // 2
if nums[mid] > target:
r = mid - 1
elif nums[mid] < target:
l = mid + 1
elif nums[mid] == target:
r = mid - 1 # 使搜索区间向左侧收缩
if l >= len(nums) or nums[l] != target: # 判断索引越界情况
return -1
return l
def search_right(self, nums, target): #搜素右边界
l, r = 0, len(nums) - 1
while l <= r:
mid = l + (r - l) // 2
if nums[mid] > target:
r = mid - 1
elif nums[mid] < target:
l = mid + 1
elif nums[mid] == target:
l = mid + 1 # 使搜索区间向右侧收缩
if r < 0 or nums[r] != target: # 判断索引越界情况
return -1
return r
python内置函数index能实现,复杂度O(1) ,反转列表O(n)
class Solution:
def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
if target not in nums:return [-1,-1]
i = nums.index(target)
j = len(nums)-nums[::-1].index(target)
return [i,j-1]
假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。
( 例如,数组 [0,0,1,2,2,5,6] 可能变为 [2,5,6,0,0,1,2] )。
编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中。若存在返回 true,否则返回 false。
输入: nums = [2,5,6,0,0,1,2], target = 0
输出: true
来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array-ii
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数组被旋转过,仍然借助数组的递增性,利用二分法取中点,当中点小于等于右端,则说明右区间排好序;否则,左区间排好序。如果目标值位于排好序的区间内,则用二分法查找;否则,对另一区间查找。
注意:如果出现重复数据,则往左端点右移一位
步骤:
class Solution:
def search(self, nums: List[int], target: int) -> bool:
l,r = 0,len(nums)-1
while l <= r:
mid = (l + r) // 2
if nums[mid] == target : return True
if nums[l] == nums[mid] : #无法判断哪个区间是增序的
l+=1
elif nums[mid] <= nums[r]: #右区间增序
if target > nums[mid] and target <= nums[r]: #二分法
l = mid + 1
else:
r = mid - 1
else: #左区间增序
if target >= nums[l] and target <= nums[mid]: #二分法
r = mid - 1
else:
l = mid + 1
return False
python内置函数index能更为简单实现,复杂度O(1)
class Solution:
def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
try:
nums.index(target)
return True
except:
return False