Python解线性方程组：列主元Gauss消元法

列主元Gauss消元法各大教科书都有，是很基础的解方程组方法。其主要思想是把方程组化为上三角方程组，然后通过回代的方法求得方程组的解。

Gauss的具体原理请参照数值分析的相关教课书这里不再赘述。

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算法流程

输入：增广矩阵
输出：方程组的解，或方程组无解的提示

1. 对于k = 1,2,…,n-1,执行步骤2到步骤5
2. 选择第k列中最大的元素，将其所在行换到第k行。如果最大元素是0，则方程无解，程序退出
3. 对于i = k + 1,…,n，计算
   $$\begin{gathered} l_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}} \\ {a}_{ij}=a_{ij}-l_{ik}{a}_{kj} \\ {b}_i=b_i-l_{ik}{b}_k \end{gathered}$$
4. 回代
   $$\begin{gathered} x_n=\frac{b_n}{a_{nn}} \\ {x}_i=\frac{b_i-{\sum }_{j=i+1}^n{a}_{ij}{x}_j}{a_{ii}} \end{gathered}$$
5. 输出 $x_1,x_2,...,x_n$.

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代码

def SolvingLinearEquations(AugmentedMatrix):
    col = A.shape[1] #增广矩阵列数
    #消元
    for i in range(col- 2):
        current_column  = AugmentedMatrix[i:,i] 
        max_index = np.argmax(current_column) + i #寻找最大元
        if(AugmentedMatrix[max_index,i] == 0):
            print("无唯一解")
            return
        AugmentedMatrix[[i,max_index],:] = AugmentedMatrix[[max_index,i],:] #交换
        l = AugmentedMatrix[i+1:,i] / AugmentedMatrix[i,i] #计算系数
        m =  np.tile(AugmentedMatrix[i,:],(l.shape[0],1)) * np.tile(l,(col,1)).T #计算消元时减去的矩阵
        AugmentedMatrix[i+1:,:] = AugmentedMatrix[i+1:,:] - m #消元
    if(AugmentedMatrix[col - 2,col - 2] == 0):
            print("无唯一解")
            return
   #代入
    x = np.zeros(col-1)
    for i in range(col-2,-1,-1):
        x[i] = (AugmentedMatrix[i,-1] - np.dot(AugmentedMatrix[i,:-1] , x.T)) / AugmentedMatrix[i,i]
    return x    
                

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测试

以下面这道题做实验

#增广矩阵
A =  np.array([[0.0120,0.0100,0.1670,0.6781],
               [1.000,0.8334,5.910,12.10],
               [3200,1200,4.200,983.3]])
x = SolvingLinearEquations(A)

程序计算结果
[ 17.4605799 , -45.76154086, 5.54603862]