06轨迹规划基础 ------微分运动学

文章参考书籍：《机器人学 建模、规划与控制》

0.摘要

本篇文章讲解微分运动学的主要内容，关键是两种雅克比矩阵的定义/计算，以及其对于正/逆运动学的作用，使用其求解机械臂奇异点的方法，文中还给出了六个转动关节的机械臂基于DH参数已知情况下的雅克比矩阵和奇异点。

1.几何雅克比矩阵

1.1定义：描述用户关节速度与相应末端执行器线速度和角速度之间关系的微分运动学
1.2具体计算公式：
T矩阵是我们正运动学的位姿计算矩阵，其中R矩阵表示旋转，P矩阵表示位置，两者皆是关节角度q的幻术， 按照上文定义，微分运动学就是建立$\frac{dp}{dt}$和$\frac{dR}{dt}$关于$\frac{dq}{dt}$的传递矩阵


J就是几何雅克比矩阵
1.3旋转矩阵求导
对R矩阵求导有（我就不给你公式推导嘿嘿嘿~自己看书去，可以戳我要PDF）

其中S(t)为3X3反对称矩阵，重点是求S(t)然后就可以做乘法得到R的导数

这看起来这俩公式像是互相求，实际进行计算是这样：
先对R求一次导，把S（t）求出来，写成这个形式
S(t)*R(t) = w(t)XR(t),
这其中的w(t)是有几何含义的，就是t时刻R(t)相对参考坐标系的角速度
w和S的换算公式

1.4连杆速度
直接写公式了
转动关节：
1.5雅可比矩阵计算
对于基坐标系（这也是我们最常用的）
基于u坐标系，其中R^u是u坐标系对基座标系的旋转矩阵

1.6运动学奇点问题
知道机械臂的运动学奇点是一件重要的事~
边界奇点：工作空间边界
**内部奇点：**两个或者两个以上的运动轴共线
雅克比矩阵行列式为1时，机械臂处于奇点~
在做轨迹规化之前，要先算出你使用机械臂的奇异位置~
1.7UR10机器人有6个转动关节，其雅克比矩阵为


令雅克比矩阵的行列式为0
可以算出三种奇异位置

2.微分逆运动学

在对雅克比矩阵求逆之后，可以用运动轨迹直接求得关节速度

若已知初始关节角度q（0），可以积分求得关节角位置

近似求解

书上章节还提到：球关节和冗余等具体处理方法，因为不属于我的研究范围，感兴趣可以打开文章开头的参考书目

3.分析雅克比矩阵

3.1定义
通过正运动学方程对关节变量的微分来求解雅克比矩阵
区别：分析雅克比矩阵和几何雅克比矩阵通常时不相等的，一般
几何雅各比矩阵方便明确物理量含义
分析雅克比矩阵方便操作空间的变量的微分量
3.2分析雅克比矩阵计算
位置相对坐标原点的平移速度

用欧拉角角表示姿态

整体看


两种雅克比矩阵之间的关系，其中：



PS：其实分析雅克比矩阵我没看太懂，其实用情况时我们进行逆运动学算法的负反馈计算时，用JA会比J更加方便~