LeetCode 673. 最长递增子序列的个数（Python、动态规划）

题目描述

思路与算法

• 假设对于以 $nums[i]$ 结尾的序列，我们知道最长序列的长度 $dp[i]$，以及具有该长度序列的个数 $count[i]$。
• 对于每一个 $j<i$ 和一个 $nums[j]<nums[i]$
  • 如果 $dp[j]\ge [i]$ ，那么我们就知道我们有 $count[j]$ 个长度为 $dp[i]$ 的序列。
  • 如果 $dp[i]==dp[j]+1$，那么我们就知道现在有 $count[j]$ 个额外的序列（即 $count[i]+=count[j]$）。

class Solution:
    def findNumberOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        dp = [1 for i in range(len(nums))]  # dp[i]表示以nums[i]结尾的最长LIS的长度
        count = [1 for i in range(len(nums))]   # count[i]表示以nums[i]结尾的最长LIS个数
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[j] < nums[i]:
                    if dp[j] >= dp[i]:
                        # 说明此时nums[i]直接附加在以nums[j]结尾的LIS后，以nums[i]结尾的LIS数量即为以nums[j]结尾的LIS数量
                        dp[i] += 1
                        count[i] = count[j]
                    elif dp[i] == dp[j] + 1:
                        # 说明此时又找到了另一条以nums[i]结尾的LIS路径，以nums[i]结尾的LIS数量即为当前数量加上以nums[j]结尾的LIS数量
                        count[i] += count[j]
        longestLIS = max(dp)
        result = sum([c for i, c in enumerate(count) if dp[i] == longestLIS])
        return result

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N^2)$。其中 $N$ 是 nums 的长度。有两个 for 循环是 $O(1)$。
• 空间复杂度：$O(N)$，dp 和 counts 所用的空间。