MATLAB无约束多维极值——最速下降法

一、算法原理

1、首先了解一个概念，什么式无约束最优化。

无约束优化问题就是在x∈R^n的范围内，找到一点x*，使得f(x*)

其一般形式为        ，x∈R^n。

2、假设函数为f(x),最速下降法通过给定一个初始点xk,选择xk处的负梯度方向为最速下降方向，然后进行线搜索来确定步长。

其迭代公式为：,

其中a为步长，∇f(xk)=gradient(f)/norm(gradient(f))为梯度。

步长a要满足，f(x(k+1))=min(f(x(k+1))

3、算法步骤，整个步骤分为两大部分：按照迭代公式的循环迭代，步长a的确定。

我们以二维极值问题f=x1.^2+25*x2.^2，为例。

（1）给定初始点[2 2]，和迭代精度tol（可设置为默认值）；

（2）求其梯度∇f(xk)=gradient(f)/norm(gradient(f))；

（3）带入迭代公式；

（4）步长的确定,将上一步的迭代公式代入f=x1.^2+25*x2.^2，对其求导，导数为零点的a就式最佳步长。

（5）将求得的步长a带入迭代公式，判断||梯度值||是否满足精度要求，不满足要求更新当前梯度值，，继续求步长。不断循环，直至满足要求。

二、MATLAB程序

clc
clear
f=@(x1,x2) x1.^2+25*x2.^2;
[x,result]=Min_TD(f,[2;2]);
function [x,result]=Min_TD(f,x0,tol)%f为匿名函数句柄，x0为初始点，tol为精度
if nargin == 2
    tol=1e-6;
end
x01=x0(1);
x02=x0(2);
f_sym=sym(f); %将匿名函数转化为符号函数
%% F_td为计算梯度值  f_td为了计算当前梯度值
F_td=matlabFunction(gradient(f_sym));%计算该函数梯度，并取得梯度函数句柄
f_td=F_td(x01,x02); %计算当前的梯度值
d_k=-f_td/norm(f_td);%下降方向
%% 寻找最佳迭代步长 alfa
while norm(f_td) > tol %当前梯度值不满足要求
    syms alfa
    x1=x0(:)+alfa*d_k;%将这个点带入迭代表达式，求alfa 
    x11=x1(1);
    x12=x1(2);
    fx1=f(x11,x12);%计算x1带入后的原函数表达式
    d_x1=diff(fx1);%对原函数表达是式求导
    d_alfa=double(solve(d_x1));%求解表达式为0时的alfa（导数为零时的点为极小值点）
    
    x0=x0(:)+d_alfa*d_k;%进行迭代
    x01=x0(1);
    x02=x0(2);
    f_td=F_td(x01,x02);%当前梯度值
    if norm(f_td) < tol %满足要求，退出
        break;
    end
    d_k=-f_td/norm(f_td);%否则，继续迭代
end
x=x0;
result=f(x(1),x(2));
end