张宇1000题高等数学 第三章 一元函数微分学的概念

$B$组

6.设$f(x)$在$\left(-\frac{\pi }{2a},\frac{\pi }{2a}\right)(a>0)$内有定义，且$f^{\prime }(0)=a$，又对任意的$x,y,x+y\in \left(-\frac{\pi }{2a},\frac{\pi }{2a}\right)$，有$f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$，求$f(x)$。

解  由$f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$，令$y=0$，得$f(0)=0$，故
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(\Delta x)+f(x)}{1-f(x)f(\Delta x)}-f(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x)[1+f^2(x)]}{\Delta x[1-f(x)f(\Delta x)]}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1+f^2(x)}{1-f(x)f(\Delta x)}\\ & =f^{\prime }(0)[1+f^2(x)].\end{array}$$
  所以$\frac{f^{\prime }(x)}{1+f^2(x)}=a$，即$\frac{\mathrm{d}[\arctan f(x)+C_1]}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ax+C_2)}{\mathrm{d}x}$。故有$\arctan f(x)+C_1=ax+C_2$，即$\arctan f(x)=ax+C$。
  由$f(0)=0$，得$C=0$，所以$f(x)=\tan ax(a>0)$。（这道题主要利用了微分方程求解）

写在最后

  如果觉得文章不错就点个赞吧。另外，如果有不同的观点，欢迎留言或私信。
   欢迎非商业转载，转载请注明出处。