高等数学张宇18讲 第九讲 积分等式与积分不等式

例题九

例9.7 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，证明：${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x{\int }_a^b\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x⩾(b-a{)}^2$。

证  令$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t{\int }_a^x\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t-(x-a{)}^2(a⩽x⩽b)$，则
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =f(x){\int }_a^x\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t+\frac{1}{f(x)}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t-2(x-a)\\ & ={\int }_a^x\left[\frac{f(x)}{f(t)}+\frac{f(t)}{f(x)}-2\right]\mathrm{d}t⩾{\int }_a^x(2-2)\mathrm{d}t=0.\end{array}$$
  从而，$F(x)$单调增加，故$F(b)⩾F(a)=0$，得证。（**这道题主要利用了构造函数的方法求解，**这道题的另一种解法见李永乐复习全书高等数学第六章多元函数积分学的例25，传送门在这里）

习题九

9.6 设$a<b$，证明不等式${\left[{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right]}^2⩽{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x{\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x$。

证  构造辅助函数
$$F(t)={\left[{\int }_a^{t}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right]}^2-{\int }_a^t{f}^2(x)\mathrm{d}x{\int }_a^t{g}^2(x)\mathrm{d}x,t\in [a,b].$$
  则$F(a)=0$，且
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(t)& =2{\int }_a^{t}f(x)g(x)\mathrm{d}x\cdot f(t)g(t)-f^2(t){\int }_a^t{g}^2(x)\mathrm{d}x-g^2(t){\int }_a^t{f}^2(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_a^t[2f(x)g(x)f(t)g(t)-f^2(t)g^2(x)-g^2(t)f^2(x)]\mathrm{d}x\\ & =-{\int }_a^t[f(t)g(x)-g(t)f(x){]}^2\mathrm{d}x⩽0.\end{array}$$
  即函数$F(t)$在$[a,b]$上单调不增，所以$F(b)⩽F(a)=0$，即
$${\left[{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right]}^2⩽{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x{\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x.$$
（这道题主要利用了凑积分的方法求解）

9.8 当$x⩾0$时，证明${\int }_0^{x}t(1-t){\sin }^{2n}t\mathrm{d}t⩽\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$。

证  令$f(x)={\int }_0^{x}t(1-t){\sin }^{2n}t\mathrm{d}t$，则有$f^{\prime }(x)=x(1-x){\sin }^{2n}x$。
  故当$0⩽x<1$时，$f^{\prime }(x)⩾0$，即$0⩽x<1$时，$f(x)⩽f(1)$；当$x>1$时，$f^{\prime }(x)⩽0$，从而$x>1$时，$f(x)⩽f(1)$，故$f(1)$为$f(x)$在$[0,+\infty )$内的最大值。
  又
$$\begin{array}{rl}f(1)& ={\int }_0^{x}t(1-t){\sin }^{2n}t\mathrm{d}t⩽{\int }_0^{x}t(1-t)t^{2n}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^1(t^{2n+1}-t^{2n+2})\mathrm{d}t=\left(\frac{1}{2n+2}{t}^{2n+2}-\frac{1}{2n+3}{t}^{2n+3}\right){|}_0^1\\ & =\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}.\end{array}$$
  所以当$x⩾0$时，${\int }_0^{x}t(1-t){\sin }^{2n}t\mathrm{d}t⩽\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$。（这道题主要利用了构造函数求导的方法求解）

新版例题十一

例11.3

例11.4

例11.10

例11.11

例11.14

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