python学习笔记_第25天（数据结构与算法）

算法的引入

练习：如果 a+b+c=1000，且 a ^2 +b ^2=c ^2（a,b,c 为自然数），如何求出所有a、b、c可能的组合?

# 循环嵌套循环
import time

start_time1 = time.time()

for a in range(0, 1001):
    for b in range(0, 1001):
        for c in range(0, 1001):
            if a ** 2 + b ** 2 == c ** 2 and a + b + c == 1000:
                print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c))

end_time1 = time.time()
print("elapsed1: %f" % (end_time1 - start_time1))
print("complete!")

执行结果：
a, b, c: 0, 500, 500
a, b, c: 200, 375, 425
a, b, c: 375, 200, 425
a, b, c: 500, 0, 500
elapsed1: 1028.415114
complete!

# 算法优化，减少一层循环
start_time2 = time.time()

for a in range(0, 1001):
    for b in range(0, 1001):
        c = 1000 - a - b
        if a ** 2 + b ** 2 == c ** 2:
            print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c))

end_time2 = time.time()
print("elapsed2: %f" % (end_time2 - start_time2))
print("complete!")

执行结果：
a, b, c: 0, 500, 500
a, b, c: 200, 375, 425
a, b, c: 375, 200, 425
a, b, c: 500, 0, 500
elapsed2: 1.126002
complete!

算法的概念

算法是计算机处理信息的本质，一般当算法在处理信息时，会从输入设备或数据的存储地址读取数据，把结果写入输出设备或某个存储地址供以后再调用。**算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想。**对于算法而言，实现的语言并不重要，重要的是思想。

算法的五大特性

• 输入: 算法具有0个或多个输入
• 输出: 算法至少有1个或多个输出
• 有穷性: 算法在有限的步骤之后会自动结束而不会无限循环，并且每一个步骤可以在可接受的时间内完成
• **确定性：**算法中的每一步都有确定的含义，不会出现二义性
• **可行性：**算法的每一步都是可行的，也就是说每一步都能够执行有限的次数完成

算法效率衡量

同一问题,不同解决方法所耗时间不同。但单纯依靠运行的时间来比较算法的优劣并不一定是客观准确的！程序的运行离不开计算机环境（包括硬件和操作系统），这些客观原因会影响程序运行的速度并反应在程序的执行时间上。
假定计算机执行算法每一个基本操作的时间是固定的一个时间单位，那么有多少个基本操作就会花费多少时间单位。虽然不同机器、不同环境单位时间不同，但是对于算法进行多少个基本操作（即花费多少时间单位）在规模数量级上是相同的，由此可以忽略机器环境的影响而客观的反应算法的时间效率。

时间复杂度与“大O记法”

如练习中普通循环法基本操作为1000*1000*1000*1（三次循环，最内侧循环中执行判断语句，分支结构中有1行语句），当改变习题a+b+c=n且条件语句内有k行语句时，则基本操作为k*n^ 3。时间复杂度T(n)=k*n^ 3，g(n)=n^ 3,此时 时间复杂度的“大O记法”记为T(n)=O(g(n))。

1. 时间复杂度：
   假设存在函数g(n)，使得算法A处理规模为n的问题，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为T(n)

2. “大O记法”：
   对于单调的整数函数，存在一个整数函数g(n)和实常数k>0，使得对于充分大的n总有T(n)<=k*g(n)。即在趋向无穷的极限意义下，函数T(n)的增长速度受到函数g(n)的约束。k值不影响g(n)函数的大致形状，函数g(n)忽略常数是T(n)的一个渐近函数。
   对于算法的时间性质和空间性质，最重要的是其数量级和趋势，这些是分析算法效率的主要部分。而计量算法基本操作数量的规模函数中那些常量因子可以忽略不计。

最坏时间复杂度

分析算法时，存在几种可能的考虑：

1. 算法完成工作最少需要多少基本操作，即最优时间复杂度
2. 算法完成工作最多需要多少基本操作，即最坏时间复杂度
3. 算法完成工作平均需要多少基本操作，即平均时间复杂度

对于最优时间复杂度，其价值不大，其反映的只是最乐观最理想的情况，没有参考价值。
对于最坏时间复杂度，提供了一种保证，表明算法在此种程度的基本操作中一定能完成工作。主要关注算法的最坏情况，亦即最坏时间复杂度。

时间复杂度的几条基本计算规则

1. 基本操作，即常数项与处理规模为n无关的步骤，认为其时间复杂度为O(1)
2. 顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
3. 循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
4. 分支结构，时间复杂度取最大值，即在多条分支语句中选择执行代码最多的那条，计算最坏时间复杂度
5. 判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略
6. 在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度