进制转换与位运算

进制转换

• 二进制数：由前缀0b开头，前缀可省略。只有0和1组成
• 十进制数：由1-9开头，0-9组成
• 八进制数：由前缀0以及后续的0-7的数字来表示
• 十六进制数：由前缀0x，后面跟随0-9或大/小写的a-f来表示（a-f依次表示10-15）

数学进制转换

十进制 => 二进制

十进制数除2取余法，即十进制数除2，余数为权位上的数，得到的商值继续除2，依此步骤继续向下运算直到商为0为止。

十进制	160	80	40	20	10	5	2	1	0
除2取余	0	0	0	0	0	1	0	1	0

倒序后：

• 十进制160 的二进制：10100000
• 十进制80   的二进制：1010000
• 十进制40   的二进制：101000

二进制 => 十进制

把二进制数按权展开、相加即得十进制数。

二进制	1	0	1	0	0	0	0	0
按权展开	1$\times$ 27	0$\times$ 26	1$\times$ 25	0 $\times$ 24	0$\times$ 23	0$\times$ 22	0$\times$ 21	0$\times$ 20
计算	128	0	32	0	0	0	0	0

相加后：

• 二进制10100000 的十进制 ：128 + 32 = 160
• 二进制    100000 的十进制：32

二进制 => 八进制

从右向左，每3位二进制数按权展开相加得到1位八进制数

二进制	1	0	1	0	0	0	0	0
按权展开	1 × 27	0 × 26	1 × 25	0 × 24	0 × 23	0 × 22	0 × 21	0 × 20
计算	2		4			0

相加后：

• 二进制10100000 的八进制：240
• 二进制    100000 的八进制：40

八进制 => 二进制

八进制是取三合一，八进制数通过除2取余法，得到二进制数，对每个八进制为3个二进制，不足时在最左边补零。

八进制	2			4			0
除2	2	1	0	4	2	1	0	0	0
取余(二进制)	0	1	0	0	0	1	0	0	0
倒序	010			100			000

转换后：

• 八进制240 的 二进制：010100000
• 八进制   40 的二进制：100000

二进制 => 十六进制

与二进制转八进制方法近似，十六进制是取四合一。（注意事项，4位二进制转成十六进制是从右到左开始转换，不足时补0）

二进制	1	0	1	0	0	0	0	0
按权展开	1 × 27	0 × 26	1 × 25	0 × 24	0 × 23	0 × 22	0 × 21	0 × 20
计算	a(10)				0

转换后：

• 二进制10100000 的十六进制：0xa0
• 二进制1010         的十六进制：0xa

十六进制 => 二进制

十六进制数通过除2取余法，得到二进制数，对每个十六进制为4个二进制，不足时在最左边补零。

十六进制	a(10)				0
除2	10	5	2	1	0	0	0	0
取余	0	1	0	1	0	0	0	0
倒序	1010				0000

转换后：

• 十六进制0xa0的二进制：10100000
• 十六进制0xa  的二进制：1010

【原码、补码、反码】

正数：正数的原码即为其反码，正数的原码即为其补码

十进制：160 --> 二进制：1010 0000 原码：0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   1 0 1 0   0 0 0 0 反码：0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   1 0 1 0   0 0 0 0 补码：0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   1 0 1 0   0 0 0 0

负数：将原码除符号位以外的位数取反得到反码，补码=反码+1

十进制：-160 原码：1 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0   1 0 1 0   0 0 0 0 反码：1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1   0 1 0 1   1 1 1 1 补码：1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1   0 1 1 0   0 0 0 0

Java进制转换

System.out.println("---------------------------------");
System.out.println("十进制转二进制：" + Integer.toBinaryString(160));
System.out.println("十进制转八进制：" + Integer.toOctalString(160));
System.out.println("十进制转十六进制：" + Integer.toHexString(160));
System.out.println("十进制转三进制：" + Integer.toString(160,3));
System.out.println("---------------------------------");
System.out.println("二进制转十进制：" + Integer.parseInt("10100000", 2));
System.out.println("八进制转十进制：" + Integer.parseInt("240", 8));
System.out.println("十六进制转十进制：" + Integer.parseInt("a0", 16));
System.out.println("三进制转十进制：" + Integer.parseInt("12221", 3));
System.out.println("---------------------------------");
System.out.println("二进制 0b10100000 的十进制：" + 0b10100000);
System.out.println("八进制 0024 的十进制：" + 0240);
System.out.println("十六进制 0xa0 的十进制：" + 0xa0);
System.out.println("---------------------------------");

• 数字的二进制表示形式称为“有效的二进制补码”
• java中 Integer.toBinaryString(i) 是转换为二进制补码

按位运算

与（&）

• 如果两个输入位都是1，则按位与，生成一个输出位1；否则生成一个输出位0

1 & 1 = 1

1 & 0 = 0

0 & 0 = 0

或（|）

• 如果两个输入位里只要有一个是1，则按位或，生成一个输出位1；只有在两个输出位都是0的情况下，才会生成一个输出位0。

1 | 1 = 1

1 | 0 = 1

0 | 0 = 0

异或（^）

• 如果输入位的某一个是1，但不全都是1，那么按位异或，生成一个输出位1。

1 ^ 1 = 0	1 ^ 0 = 1	0 ^ 0 = 0
i ^ 1 == i + 1 ( i 为偶数)	i ^ -1 == - ( i + 1 )	i ^ 0 = i

非（~）

• 按位非，取反操作符，一元操作符，只对一个操作数进行操作，生成与输入位相反的值

1	0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 1
~1	1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 0
-5	1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1  1 0 1 1
~-5	0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 1 0 0

a % 2 == a & 1 ;   ~x + 1 可得相反数

左移（<<）

• 左移 位操作符 能够按照操作符右侧指定的位数 将操作符左边的操作数 向左 移动
• 规则：溢出的舍弃，空位的补0
• 注意：移位时，需要使用补码进行计算
  
  
• 计算负数时，先算出补码进行计算，计算完成后，使用补码-1进行逆运算获得反码，最后计算出原码

右移（>>）

• 右移 位操作符 能够按照操作符右侧指定的位数 将操作符左边的操作数 向右 移动
• 规则：溢出的舍弃，空位正数用0填补，负数用1填补
• 注意：移位时，需要使用补码进行计算
  
  
• 计算负数时，先算出补码进行计算，计算完成后，使用补码-1进行逆运算获得反码，最后计算出原码

无符号右移（>>>）

• 无符号右移：正数与右移规则一样，负数的无符号右移，就是相应的补码移位所得，在高位补0即可
  
• 对于负数，无符号右移后，不取原码，因此 -10>>>2的结果为111111111111111111111111111101

快捷计算方式:
   对于 i << n，计算方式是 i * (2ⁿ)
   对于 i >> n，计算方式是 i / (2ⁿ)

位运算应用

1. 判断奇偶性

奇数都不是2的整数倍，转换成二进制后最低位必然为1，偶数则相反。

boolean isOddNumber(int n){
     
    return (n & 1) == 1;
}

2. 判断一个正整数是否是2的整数次幂

常见的2的整数次幂的数：2、4、8、16，转化成二进制依次为：10、100、1000、10000。除了首位是1，其他全是0。
规律：这些数减去1后等于他们依次按位取反的结果，比如8-1=7，7的二进制是111，8的二进制1000按位取反后也是111。8 & 7= 0。可总结为 ( n & (n-1))==0

boolean isPowOfTwo(int n){
     
    return (n & (n-1)) == 0;
}

3. 求绝对值

任何正数右移31后只剩符号位0，最终结果为0，任何负数右移31后也只剩符号位1，溢出的31位截断，空出的31位补符号位1，最终结果为-1.右移31操作可以取得任何整数的符号位。
a>>31取得a的符号，若a为正数，a>>31等于0，a ^ 0=a，不变；若a为负数,a>>31等于-1 ，a ^ -1每一位取反

int getAbs(int a){
     
	return  (a^(a>>31))-(a>>31);
}

4. 求平均值

对于两个整数x,y，假设用 (x+y)/2 求平均值。会产生溢出。由于 x+y 可能会大于INT_MAX，可是它们的平均值是肯定不会溢出的。

int getAverage(int x, int y){
         
    return (x&y)+((x^y)>>1); 
} 

5. 求二进制中1的个数

一个int型的十进制正整数，计算出该int型数据在内存中存储时1的个数。

int getCount(int num){
     
	int count = 0;
    while(num != 0) {
     
        count++;
        num = num & (num -1);
    }
    return count;
}