数据结构之树（3）——二叉平衡树（AVL）

AVL树

AVL树即是平衡二叉树，是一种特殊的二叉排序树。

它的左右子树都是平衡二叉树，并且左右子树的高度之差的绝对值不超过1。

注意：平衡二叉树就是一棵二叉排序树，是二叉排序树的改进，提高了查找效率。

AVL树的插入结点根二叉排序树是一样的，都是遵循左小右大的原则。

但在插入过程中，每插入一个新的结点，就需要检查新结点的插入是否使得原平衡二叉树失去平衡，如果失去平衡则需要进行平衡调整。

为了判断一棵二叉排序树是否是平衡二叉树，引进了平衡因子的概念。平衡因子是针对树中的结点来说的，一个结点的平衡因子为其左子树的高度减去右子树高度的差。对于平衡二叉树，树中的所有结点的平衡因子的取值只能是-1、0、1三个值。

当一棵平衡二叉树变成一棵不平衡树后，会进行平衡调整，平衡调整有4种情况：LL（左左）、RR（右右）、LR（左右）、RL（右左）

在进行平衡调整之前，需要知道一个最小平衡子树的概念。

假定向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性，则首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树，然后再调整这棵子树，使之成为平衡子树。值得注意的是，当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，无须调整原有其他所有的不平衡子树，整个二叉排序树就会成为一棵平衡二叉树。所谓失去平衡的最小子树是以距离插入结点最近，且以平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树，又称为最小不平衡子树。

例如：

注意：平衡调整的4种情况LL、RR、LR和RL，并不是对调整过程的描述，而是对不平衡状态的描述。

如LL（左左）调整，即新插入结点落在最小不平衡子树根结点的左（L）孩子的左（L）子树上，对这种不平衡状态的调整称之为LL调整。

如LR（左右）调整，即新插入结点落在最小不平衡子树根结点的左（L）孩子的右（R）子树上，对这种不平衡状态进行调整称之为LR调整。

其他的RR和RL都是这样的。

上面叙述的是发生二叉树不平衡的情况，下面讲解怎么处理不平衡，即进行平衡调整的方法。

在此之前，还需要说下左旋转和右旋转：

左旋转：逆时针旋转AVL树的两个结点X和Y，使得父结点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。

这是一个很奇妙的故事：父亲被自己的右孩子逼下位，右孩子成功上位，为了弥补父亲缺少右孩子的遗憾，把自己的左孩子给了父亲。

右旋转：顺时针旋转AVL树的两个结点X和Y，使得父结点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。

这也是一个很奇妙的故事：父亲被自己的左孩子逼下位，左孩子成功上位，为了弥补父亲缺少左孩子的遗憾，把自己的右孩子给了父亲。

• LL调整，也叫右单旋转调整

抽象图详解：

• ①其中A、B、C是最小不平衡子树的三个结点，而三角形代表这些结点下的子树，其中A结点的平衡因子为2，表示该二叉树已经不平衡。
• ②把C结点及其子树当作一个整体来处理，同时也暂时表示以C结点为根结点的子树是平衡的然后，然后用三角形C代替，抽象表示B的左孩子。
• ③然后就成了右旋转的标准形式，根据上面的右旋转方法来调整平衡。
• ④成功调整平衡，将三角形C替换回来，检查平衡因子，发现调整平衡成功。

结点实际操作如图：

• RR调整，也叫左单旋转调整

抽象图详解：

• ①其中A、B、C是最小不平衡子树的三个结点，而三角形代表这些结点下的子树，其中A结点的平衡因子为-2，表示该二叉树已经不平衡。
• ②把C结点及其子树当作一个整体来处理，同时也暂时表示以C结点为根结点的子树是平衡的然后，然后用三角形C代替，抽象表示B的右孩子。
• ③然后就成了左旋转的标准形式，根据上面的左旋转方法来调整平衡。
• ④成功调整平衡，将三角形C替换回来，检查平衡因子，发现调整平衡成功。

结点实际操作如下图：

 

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• LR调整，也叫先左后右双旋转调整

抽象图详解：

• ①表示LR调整的情况，其中A、B、C是最小不平衡子树的三个结点，而三角形代表这些结点下的子树，其中A结点的平衡因子为2，表示该二叉树已经不平衡。
• ②把绿色框内的当成一个整体来处理，即三角形BC。
• ③把三角形1、2、3当成一个整体，暂时不进行处理，设为三角形BC。
• ④对三角形BC内的情况进行处理，即左旋转，旋转完成。
• ⑤恢复三角形BC旋转后的内容，即融合④的结果。
• ⑥把绿色框内的当成一个整体，就是右旋转的情况，设为三角形B。
• ⑦进行右旋转，旋转完成。
• ⑧将三角形B的内容恢复为⑥种的绿色框内容，完成平衡调整。

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结点实际操作如图：

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• RL调整，也叫先右后左双旋转调整

抽象图详解：

• ①表示RL调整的情况，其中A、B、C是最小不平衡子树的三个结点，而三角形代表这些结点下的子树，其中A结点的平衡因子为-2，表示该二叉树已经不平衡。
• ②把绿色框内的当成一个整体来处理，即三角形BC。
• ③把三角形2、3、4当成一个整体，暂时不进行处理，设为三角形BC。
• ④对三角形BC内的情况进行处理，即右旋转，旋转完成。
• ⑤恢复③种三角形BC旋转后的内容，即融合④的结果。
• ⑥把绿色框内的当成一个整体，就是左旋转的情况，设为三角形B。
• ⑦进行左旋转，旋转完成。
• ⑧将三角形B的内容恢复为⑥种的绿色框内容，完成平衡调整。

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二叉平衡树删除结点跟二叉排序树删除结点是用同样方法处理的，不过删除后要考虑树是否平衡的问题，如果遇到失衡问题同样可以考虑用上面四种情况进行解决。

 

参考链接：

• 漫画：什么是AVL树？（修订版）