数据结构之树（4）——红黑树
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红黑树
概念
调整
变色
左旋和右旋
插入
插入情况分析
插入平衡总结
插入实例
删除
概述
删除情况分析
删除平衡总结
删除实例
参考链接
红黑树
概念
红黑树同样是解决二叉排序树不平衡的问题的，例如下面这种失衡的二叉树。
所以红黑树首先是一棵二叉排序树，然后是二叉平衡树的特殊形式。
红黑树(Red Black Tree)是一种自平衡的二叉查找树。红黑树有如下特性：
- 结点是红色或者黑色的。
- 根结点是黑色的。
- 每个叶子结点都是黑色的空结点（NIL结点）。
- 每个红色结点的两个子结点都是黑色的（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点）。
- 从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数组的黑色结点。
调整
新插入的结点颜色一定要先设置为红色，下面向红黑树种插入一个值为14的结点。
符合红黑树的规则，不需要调整平衡。
再插入一个21结点，如下图：
违反了上面的“每个红色结点的两个子结点都是黑色的”，所以必须进行调整，让这棵树重新符合红黑树的定义。
叶子(NIL)节点就是一个空节点，表示节点在此位置上没有元素了。在实际的算法实现中NIL不需要考虑，填上NIL节点只是为了判断到此路径终点的NIL节点上，经过多少黑节点。
调整红黑树有两种方法：变色和旋转（左旋转和右旋转）
- 变色：将红色结点变为黑色，或者将黑色结点变为红色。
- 左旋转：逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。
- 右旋转：顺时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。
变色
下面说下变色：
结点21和结点22都是红色，需要进行调整
将结点22变成黑色
但又不符合“从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数组的黑色结点”规则，从根结点13到结点21下的NIL结点，共有4个黑色结点，其他路径有3个黑色结点。
所以将结点25变成红色结点，如下：
此时发现结点25和结点27都是红色结点，所以将结点27变为黑色结点。
总之，变色就是改变结点的颜色，要么是红色，要么是黑色，然后调整成符合红黑树的规则。
左旋和右旋
关于左旋和右旋可以查看AVL树中的旋转：数据结构之树（3）——二叉平衡树（AVL）
左旋转，在上面已经说了
右旋转，上面也讲了的
但什么时候用变色，什么时候又用旋转呢，这很复杂，红黑树的插入和删除都需要判断调整是否符合红黑树的规则，然后调整。
下面通过其他参考资料来试图说明下红黑树插入和删除的各种情况：
插入
插入情况分析
红黑树的插入同二叉排序树的插入过程相似，但红黑树插入新结点后，需要判断红黑树是否符合定义要求，如果不符合，租需要进行调整，以满足红黑树的性质。
认识下结点的标记
第一种情况：如果插入的结点是根结点，那么该结点颜色调整为黑色
但发现不满足“根结点是黑色的”，所以需要调整，将根结点调整为黑色。
这时发现红黑树的所有要求被满足。
第二种情况：待插入结点的父结点是黑色，不需要调整
第三种情况：待插入结点的父结点是红色，同时叔叔结点也是红色，需要调整
发现新插入的结点N和父结点P是连续红色，需要调整红黑树。
调整方法：将父亲结点P和叔叔结点U重新绘制为黑色，祖父结点G绘制为红色。但是，如果此处祖父结点G为根节点，那么需要调用红黑树修正程序，将祖父结点绘制为黑色，如果祖父结点G被染成红色后，可能和它的父结点形成连续的红色结点，此时需要递归向上调整。
第四种情况：待插入结点的父结点是红色，同时叔叔结点是黑色，需要调整
在满足父节点是红色，叔叔节点是黑色的条件下，又可以分以下几种情况：
- 情况一：父结点P是祖父结点G的左子结点，待插入结点N是父结点的左子结点
调整方法：以祖父结点G为支点进行右旋，然后将父结点P染黑，祖父结点G染红。
说明：
- ①表示新插入结点N后，红黑树失衡，需要调整连续的红色结点N和P。
- ②不重要，将N和U及其子树当作一个整体，促成右旋转的形式，为右旋转做准备。
- ③不重要，这其实就是右旋转的过程，一步步拆分来的。
- ④不重要，将当成整体的绿色三角形N和U再次组装成完整的，即右旋转完成后的结果。
- ⑤对父结点P染成黑色，祖父结点G染成红色，这是最后一步，其实网上的资料只有①和⑤两步，这里只是把每一个步骤都拆分了。
下面说第二种情况。
- 情况二：父结点P是祖父结点的右子结点，待插入结点N是父结点P的右子结点
调整方法：以祖父结点G为支点进行左旋，然后将父结点P染黑，祖父结点染红。
说明：
- ①表示新插入结点N后，红黑树失衡，需要调整连续的红色结点N和P。
- ②不重要，将N和U及其子树当作一个整体，促成右旋转的形式，为右旋转做准备。
- ③不重要，这其实就是左旋转的过程，一步步拆分来的。
- ④不重要，将当成整体的绿色三角形N和U再次组装成完整的，即右旋转完成后的结果。
- ⑤对父结点P染成黑色，祖父结点G染成红色，这是最后一步，其实网上的资料只有①和⑤两步，这里只是把每一个步骤都拆分了。
下面说明第三种情况。
情况三：父结点P是祖父结点的左子结点，待插入结点N是父结点P的右子结点
调整方法：以父结点P为支点进行左旋，然后做情况一处理。
说明：
- ①表示失衡的情况，需要进行调整。
- ②单独把以P为根结点的子树提取出来，当成一个分支来处理。
- ③将绿色框内的子树以P结点为支点进行左旋转，紫色框内是左旋转的步骤，每一步分开来的。
- ④将旋转完成的分支组合到②中
- ⑤此时的情况与“情况一”中一致，使用情况一中的调整方法进行调整即可。
下面说明第四种情况。
情况四：父结点P是祖父结点G的右子结点，待插入结点N是父结点的左子结点
调整方法：以父结点P为支点进行右旋转，旋转后，然后做情况二处理。
说明：
- ①表示失衡的情况，需要进行调整。
- ②单独把以P为根结点的子树提取出来，当成一个分支来处理。
- ③将绿色框内的子树以P结点为支点进行右旋转，紫色框内是右旋转的步骤，每一步分开来的。
- ④将旋转完成的分支组合到②中
- ⑤此时的情况与“情况二”中一致，使用情况二中的调整方法进行调整即可。
插入平衡总结
红黑树插入元素总结：
插入实例
实例：用如下序列{10，20，15，30，5，8}绘制红黑树
第一步：插入10，由于是第一个插入的结点，所以是根结点
按照上面的总结，需要将N染黑。
第二步：插入20
根据上面的总结，父结点为黑色，不需要调整。
第三步：插入15
根据上面的总结，N的父结点P是红色，N的叔叔结点没有，所以是第四种情况，但父结点20是祖父结点10的右子结点，N结点15是父结点20的左子，所以是情形四，故先以父结点20为支点进行右旋。
现在以20为N结点，然后结点20的父结点15是红色，没有叔叔结点，同时父结点20是祖父结点10的右子结点，N结点20是父结点15的右子，满足“情形二”，所以调整是以祖父结点10为支点进行左旋，染黑原父结点15，染红原祖父结点10。
所以整理并染色如下：
第四步：插入30
现在N结点是30，N的父结点20是红色，N的叔叔结点10也是红色，所以满足第三种情况，所以调整的方法是染黑父结点20和叔叔结点10，并且染红祖父结点15.。
发现根结点15是红色的，不符合红黑树要求，所以将根结点染黑。
第五步：插入5
现在N结点是5，N结点的父结点是黑色，所以不需要进行调整红黑树。
第六步：插入8
现在N结点是8，N结点的父结点5是红色结点，N结点没有叔叔结点，所以是第四种情况，同时父结点5是祖父结点10的左子结点，N是父结点5的右子结点，所以是情形三。
以父结点5为支点进行左旋。
现在N结点是5，由于父结点8是祖父结点10的左子结点，N是父结点8的左子结点，所以调整红黑树的方式是以祖父结点10右旋，染黑原父结点8，染红原祖父结点10。
删除
概述
删除红黑树结点的操作分为查找到要被删除的结点，然后就是删除该结点即可，最麻烦的就是删除结点后重新维持红黑树平衡的问题。
删除结点有3种情景：
- 第一种：若删除结点没有子结点，直接删除。
- 第二种：若删除结点只有一个子结点，用子结点替换删除结点。
- 第三种：若删除结点有两个子结点，同二叉搜索树一样，用后继结点（要么是它的左子树中的最大元素，要么是它的右子树的最小元素）替换删除结点。
删除的三种情况其实根二叉排序树的删除是一样的，因为红黑树首先是一棵二叉排序树。
所以可以参考：数据结构之树（2）——二叉查找树和二叉排序树
先要约定下结点名称：
删除结点后就会面临一个情况：红黑树是否还平衡？如果平衡则不需要进行调整，否则需要进行调整。
平衡是在删除黑色叶子结点后才发生的操作，比如P->D->N，删除黑色结点D后，变成P->N，导致经过N的路径的黑色结点数量减少1个，所以需要进行平衡处理。
删除情况分析
调整删除结点后的红黑树平衡有如下几种情况：
第一种情况：结点N是根结点，无需调整
当删除的结点是根结点，那么无需调整平衡，因为所有路径都少一个黑色结点，仍然保持平衡。例如：
第二种情况：兄弟结点S是黑色的
但在该种情况下又分为好几种不同情形：
- 情况一：兄弟结点S的所有子结点都是黑色，即SR和SL都是黑色的。
又分为两种情形：父结点P是红色还是黑色？
下面来处理父结点P是红还是黑的情况：
-
- 情形一：父结点P为黑色
调整方法：染红兄弟结点S，将父结点P作为新的N结点，递归处理。
为什么需要递归处理？
-
- 情形二：父结点P为红色
调整方法：染红兄弟结点S，染黑父结点P，平衡完成。
- 情况二：兄弟结点S的子结点不全黑。
不全黑包括3种情况：SL黑SR红、SL红SR黑、SL红SR红。所以得出结论：如果其中一个为黑，另外一个肯定是红。
之所以以全黑与不全黑进行分类，因为兄弟结点S可能是父结点P的左子结点，也可能是右子结点。如果是全黑，那么兄弟结点S无论是左子结点还是右子结点，处理方式一样；但如果不是全黑，那么就要看兄弟结点S所处的位置，进行特定方向的旋转。
-
- 情形一：兄弟结点S是父结点P的左子结点，SL结点红色，SR结点颜色未知
调整方法：以父结点P为支点进行右旋，交换父结点P和兄弟结点S的颜色，染黑兄弟结点的左子结点SL，平衡完成。
其中完整的过程是：
- ①不平衡的红黑树，待调整进行平衡。
- ②对不平衡的红黑树进行右旋操作，以父结点P为支点进行右旋，里面是右旋的每一步具体步骤。
- ③交换P和S的颜色，染黑SL，这里是不知道SR、P、G结点的颜色的，也不在乎。
-
- 情形二：兄弟结点S是父结点P的右子结点，SR结点红色，SL结点颜色未知
与上面的情形一呈镜像关系，所以调整方法：以父结点P为支点进行左旋，旋转后，交换P和S颜色，结点SR染黑。
其中完整的过程是：
- ①不平衡的红黑树，待调整进行平衡。
- ②对不平衡的红黑树进行左旋操作，以父结点P为支点进行左旋，里面是左旋的每一步具体步骤，如果不明白是如何左旋的，可能查看步骤，否则直接看上面那张图即可，里面的绿色三角形都是辅助完成左旋操作的，实际上只是为了方便理解，并无实际应用。
- ③交换P和S的颜色，染黑SR，这里是不知道SL、P、G结点的颜色的，也不在乎。
-
- 情形三：兄弟结点S是父结点P的左子结点，SL结点黑色，SR结点一定是红色的。
调整方法：以兄弟结点S进行左旋，旋转后，交换结点S和SR的颜色，最后转至【情况二-情形一】处理。
旋转完整流程如下：
- ①不平衡的红黑树，待调整进行平衡。
- ②对不平衡的红黑树进行左旋操作，以兄弟结点S为支点进行左旋，里面是左旋的每一步具体步骤，如果不明白是如何左旋的，可能查看步骤，否则直接看下面那张图即可，里面的绿色三角形都是辅助完成左旋操作的，实际上只是为了方便理解，并无实际应用。
- ③交换S和SR的颜色。
- ④转至【情况二-情形一】处理，此时SR结点是新的S结点，S结点是新的SL结点。
-
- 情形四：兄弟结点S是父结点P的右子结点，SL结点红色，SR结点是黑色的。
调整方法：以兄弟结点S为支点进行右旋，旋转完成后，交换S和SL的颜色，然后转至【情况二-情形二】
旋转完整流程如下：
- ①不平衡的红黑树，待调整进行平衡。
- ②对不平衡的红黑树进行右旋操作，以兄弟结点S为支点进行右旋，里面是右旋的每一步具体步骤，如果不明白是如何右旋的，可能查看步骤，否则直接看下面那张图即可，里面的绿色三角形都是辅助完成右旋操作的，实际上只是为了方便理解，并无实际应用。
- ③交换S和SL的颜色。
- ④转至【情况二-情形二】处理，此时原SL结点是新的S结点，原S结点是新的SR结点。
第三种情况：兄弟结点S是红色的
- 情况一：兄弟结点S是父结点P的左子结点
调整方法：以父结点P为支点进行右旋，旋转后，交换父结点P和兄弟结点S的颜色，N的兄弟结点变为黑色，转至【第二种情况】处理。
右旋的流程就不画了，上面已经画了很多次了。
- 情况二：兄弟结点S是父结点P的右子结点
调整方法：以父结点P为支点进行左旋，旋转后，交交换父结点P和兄弟结点S的颜色，N的兄弟结点变为黑色，转至【第二种情况】处理。
至此，红黑树的删除操作也完成了，很复杂，分支特别多。
删除平衡总结
下面总结下。
删除实例
红黑树的删除实例（此实例来源于彻底理解红黑树（三）之 删除）
推荐一个网站：红黑树动画在线演示
可以用来查看红黑树的插入/删除/查找等。
第一步：删除结点50
待删除的结点50既有左子结点，又有右子结点，所以同二叉排序树的删除一样，寻找一个结点来替换待删除结点，一般选择是右子树的最小结点或左子树的最大结点。
如果选择的是左子树的最大结点，那么就是使用结点40交换结点50，结点50没有子结点，可以直接删除结点50。
同网站测试结果一样
如果选择的是右子树的最小结点，那么就是使用结点60交换结点50，交换后，发现结点50只有一棵右子树，按照二叉排序树的删除规则，直接将右子树的根结点连接在结点50的父结点60上，然后染黑结点70，保证黑色结点的数量，结果如下图：
由于选择不同的结点进行交换，最终导致重新的红黑树不一样。
第二步：删除结点70
注意：只有当删除掉黑色的叶子结点后才会触发红黑树的平衡操作。
该结点没有任何子结点，直接删除。
（这里最开始删除结点70选用的是右子树最小结点60进行交换，所以图是这样的）
但是，注意，刚才删除的结点70是黑色结点，会导致红黑树失衡，必须进行调整，可以看到从根结点到左子树的其他叶子结点的黑色结点个数是3（包含NIL在内），但到右子树的叶子结点的黑色结点个数是2（包含NIL在内），违反了红黑树的第五条性质。
平衡第一步：以结点60为支点右旋，交换结点60和结点20的颜色，详细流程如下：
进行调整后，发现结点N的兄弟结点30是黑色的，所以转至【第二种情况】处理，观察发现兄弟结点30的子结点不全是黑色，同时兄弟结点30是父结点60的左子结点，并且SR结点40是红色，SL结点‘NIL’是黑色，所以符合【第二种情况 - 情况二 - 情形三】。
平衡第二步：以结点30为支点左旋，交换结点30和结点40的颜色，详细流程如下：
进行调整后，需要转至【第二种情况-情况二-情形一】，观察发现也符合，结点N的兄弟结点40是黑色的，结点40的子结点不全是黑色，兄弟结点40是父结点60的左子结点，结点40的SL左子结点30是红色，结点SR是'NIL'黑色的，所以符合，进行调整。
平衡第三步：以结点60为支点右旋，交换结点60和结点40的颜色，染黑结点30，详细流程如下：
到此删除结点70所造成的平衡问题得以解决，总结如下：
第三步：删除结点60
结点60没有子结点，可以直接删除，删除后结点40的右子结点指向NIL
但注意，被删除的结点60是黑色叶子结点，删除后红黑树失衡，从结点20到其他叶子结点的黑色结点个数是3个（包含NIL在内），而到结点40的右子树叶子结点的黑色结点个数只有2个（包含NIL在内），违反了红黑树的第五条性质，所以需要进行调整。
观察发现N结点的兄弟结点30是黑色的，并且结点30的子结点都是黑色，同时结点30的父结点是红色的，符合【第二种情况-情况一-情形二】，进行调整。
平衡第一步：交换结点30和结点40的颜色，平衡完成。
所以删除结点60的完整过程如下：
第四步：删除结点10
结点10没有子结点，可以直接删除。
但注意，被删除的叶子结点10是黑色的叶子结点，删除后，红黑树就会失衡，因为原来经过结点10的路径的黑色结点个数少了一个，从根结点到其他叶子结点的路径中黑色结点个数是3个（包含NIL在内），但到结点20的左子树路径中黑色结点个数只有2个（包含NIL在内）所以必须进行调整。
观察发现N结点的兄弟结点40是黑色的，但它的子结点不全是黑色的，同时结点40是父结点20的右子结点，结点40的左子结点30是红色的，符合【第二种情况-情况二-情形四】，进行调整。
平衡第一步：以结点40为支点右旋，交换结点40和结点30的颜色，转至【第二种情况-情况二-情形二】
观察发现结点N的兄弟结点30仍然是黑色的，兄弟结点30的子结点不全是黑色的，同时兄弟结点30是父结点20的右子，兄弟结点30的右子结点是红色的，所以按照【第二种情况-情况二-情形二】处理。
平衡第二步：以父结点20为支点左旋，交换结点20和结点30的颜色，染黑结点40，平衡完成
所以删除结点10的完整过程如下：
第五步：删除结点20
结点20没有子结点，直接删除即可。
但注意，结点20是黑色叶子结点，删除后会导致红黑树失衡，需要调整。
观察发现结点N的兄弟结点40是黑色的，并且结点40的子结点都是黑色的，同时结点40的父结点30也是黑色的，按照【第二种情况 - 情况一 - 情形一】处理。
平衡第一步：染红结点40，将父结点30作为新的N结点，递归处理。
删除结点20的完整过程如下：
至此，就已经完成了红黑树删除结点的学习。
注意，无论替换采用的是左子树的最大结点，还是右子树的最小结点，最后删除的结果都是一样，如测试网站最终的结果。
红黑树广泛应用于JDK中，如TreeMap、TreeSet和HashMap，而了解红黑树的目的现阶段就是为了阅读HashMap的源码。
参考链接
- 漫画：什么是红黑树？
- 一文带你彻底读懂红黑树（附详细图解）
- 彻底理解红黑树（二）之 插入
- 彻底理解红黑树（三）之 删除
- 红黑树 - 维基百科