【算法导论】笔记-第十章 散列表

第10章 散列表

• 散列表是实现字典操作的一种有效数据结构。

10.1 直接寻址表

• 直接寻址表：表示动态集合，记作$T[0..m-1]$。其中每个位置称作槽。
• 槽：槽k指向集合中一个关键字为k的元素。若没有关键字为k的元素，则$T(k)=NIL$。
• 缺点：全域U很大，存储不现实。并且浪费空间。

10.2 散列表

• 利用散列函数h，由关键字k计算出槽的位置。函数h将关键字的全域U映射到散列表$T[0..m-1]$的槽位上：$h:U\to \{0,1,\cdot \cdot \cdot ,m-1\}$。$h(k)$即为关键字k的散列表。
• python提供的散列表为字典
• 冲突：两个关键字可能映射到同一个槽中。
  • 解决方法：
    • 使散列函数h尽可能的随机，以避免冲突或者使冲突的次数减少
    • 链接法
    • 开放寻址法
• 通过链接法解决冲突：把散列到同一槽中所有元素都放在一个链表中。槽$j$中有一个指针，它指向存储所有散列到$j$的元素的链表的表头。

10.3 散列函数

• 好的散列函数的特点：每个关键字都被等可能地散列到m个槽位中任何一个。

• 构造好的散列函数：

  • 启发式方法：用除法进行散列和用乘法进行散列。
  • 全域散列

• 将关键字转换为自然数：如果所给关键字不是自然数，则必须有一种方法来将它们解释为自然数。

• 除法散列表：通过取k除以m的余数，将关键字k映射到m个槽中的某一个上

  • 散列函数：$h(k)=kmodm$

• 乘法散列表：

  • 步骤：
    • 用关键字k乘上常数A(0
    • 用m乘以这个值，再向下取整
  • 散列函数：$h(k)=\lfloor m(kA\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1)\rfloor$

• 全域散列法：从一组精心设计的函数中，随机地选择散列函数

10.4 开放寻址法

• 开放寻址法：每个表项或包含动态集合的一个元素，或包括NIL。当查找某个元素时，要系统地检查所有的表项，直到找到所需的元素，或最终查明该元素不在表中，这一操作称为探查。

• 伪代码：

  • HASH-INSERT(T, k)：插入

    i = 0
    repeat
    j = h(k, i)
    if T[j] == NIL
        T[j] = k
        return j
    else i = i + 1
    until i == m
    error "hash table overflow"
    

  • HASH-SEARCH(T, k)：查找

    i = 0
    repeat
        j = h(k, j)
        if T[j] == k
            return j
        i = i + 1
    until T[j] == NIL or i == m
    return NIL
    

  • python代码：

    ## 除法散列表
    def h(k, m):
        return k % m
    
    ## 插入
    def hash_insert(T, k):
        m = len(T)
        i = 1
        while i < m:
            j = h(k, i)
            if T[j] == None:
                T[j] = k
                return j
            else:
                i = i + 1
        return "hash table overflow"
    
    ## 搜索
    def hash_search(T, k):
        m = len(T)
        i = 1
        j = h(k, i)
        while i < m and T[j] != None:
            j = h(k, i)
            if T[j] == k:
                return j
            else:
                i = i + 1
        return None
    
    T = [None]*10 ## 初始化散列表
    for k in [79,69,98,72,14,50]:
    	print(hash_insert(T, k))
        
    for k in [79,98,14,900]:
    	print(hash_search(T, k))
    
    

• 计算开放寻址法中的探查序列

  • 线性探查：给定一个散列函数$h^{\prime }:U\to \{0,1,\cdot \cdot \cdot ,m-1\}$，称之为辅助散列函数
    • 散列函数：$h(k,i)=(h^{\prime }(k)+i)modm,i=0,1,\cdot \cdot \cdot ,m-1$
    • 缺点：一次群集问题，即随着时间的推移，连续被占用的槽不断增加，平均查找时间也随着不断增加。
  • 二次探查：
    • 散列函数：$h(k,i)=(h^{\prime }(k)+c_{1}i+c_2{i}^2)modm,i=0,1,\cdot \cdot \cdot ,m-1$
    • 初始的探查位置是$T[h^{\prime }(k)]$
    • 如果两个关键字的初始探查位置相同，那么它们的探查序列也是相同的，这一性质导致一种程度较轻的群集现象，称为二次群集。
  • 双重散列
    • 散列函数：$h(k,i)=(h(k)+i{h}_2(k))modm,i=0,1,\cdot \cdot \cdot ,m-1$
    • 初始的探查位置是$T[h_1(k)]$