【一日一臻】06 考研复试之智力题测试

有时候，积累也是一种智慧。

  此处为Yang同学2021年哈尔滨工业大学计算机考研复试中智力题测试记录，将持续更新。

1. 回到原点（2月24日）

  地球上存在多少个点，向南走一英里，向东走一英里，向北走一英里能够回到原点？
【思考】
  如果不是特殊的地方，则肯定不能回到原点，那么这个点必须是在特殊的地方，我们考虑赤道¹、南极点²和北极点³。那么下面我们考虑一下在赤道、南极和北极处的方位问题（此处涉及一些地理知识，如下图）：

位置	方位特征
赤道	有东、南、西、北四个方位
南极点	在这一点所指向的任何方向都是北方
北极点	在这一点所指向的任何方向都是南方

  那么就可以考虑南极点和北极点：

【解答】
  向南走一英里，向东走一英里，向北走一英里能够回到原点？考虑以下地点：

1. 南极点及其附近的点
     在南极点，所有方位都是向北，那么向南走一英里则是原地旋转，向东走一英里还是原地旋转，利用在南极点向北走一英里则是向任意方向走一英里的特点，则向北走一英里则是向任意方向走一英里，肯定不能回到原点。
     考虑南极点附近的点，注意到在南极附近向东、西方向走一定距离就是走一段圆弧。如果向东走一英里可以回到原点的话，那么向南走一英里，向东走一英里，向北走一英里就相当于向南走一英里，向北走一英里，这样或许就能回到原点。要想向东走一英里可以回到原点，则从起点（设为A点）向南走一英里到达的地方（设为B点）应满足：B点到南极点的距离r = 1/2kπ (k为正整数) ，在B点向东走一英里就相当于绕地球若干圈回到B点，再从B点向北走一英里即可回到原点，故离南极点1+1/2kπ的所有点均符合题意，其走过的路程如下图所示。
   
2. 北极点及其附近的点
     在北极点，向南走1英里，即向任意方向走1英里，假设走到了A点，在A点处向东走，实际上是走一个圆弧，假设到达B点。之后在B点向北走，那么就是向北极点走去，即可回到北极点（原点），故北极点符合题意。其走过的路程如下图所示。
     在北极附近的点，同样如上述的那样，找到向东走一英里可以回到原点的点，即离北极点1/2kπ的点（设为C点）。但是在该点处，向北走一英里是不存在的（向北走1/2kπ就到了北极点，之后向北走就是原地转圈了，故最终地点就是北极点，若它是原点，则起点也是北极点，向南走一英里到不了C点），故在北极附近的点都不符合题意。
   

【答案】
  北极点和离南极点1+1/2kπ (k为正整数)的所有点 。
【小结】
  本题实际上和C语言中的循环有密切的联系，也即在南极点（北极点）向除北（南）以外的点前进都是原地转圈，在南极点（北极点）附近向除东、西方向前进则是绕着圆弧行走，故可以可以是回到原地，其实质就是循环。
  不过说实话，本题对地理知识要求也很高，对于地理基础不好的理工科生来说确实是一个难题。

2. 开灯（2月25日）

  有100栈灯，编号为1~100，一开始灯都是开着的。之后依次进行以下操作：

1. 按下所有开关；
2. 按下编号为2的倍数的开关；
3. 按下编号为3的倍数的开关。

  请问，最后有多少灯是开着的？

3. 方向（2月26日）

  一个圆盘被涂上了黑白两种颜色，两种颜色各占一个半圆，圆盘以一个未知的速度、按一个未知的方向旋转。现有一些颜色传感器可供使用。问如何用最少的传感器测试出圆盘是在顺时针转还是逆时针转？最少要用几个传感器？

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1. 维基百科_赤道 ↩︎

2. 维基百科_南极点 ↩︎

3. 维基百科_北极点 ↩︎