计算几何 之 判断两直线是否相交并求交点 代码模板与证明

判断两直线是否相交 并 求两直线交点

首先判断两直线的向量$v$与$w$的叉积是否为0，若为0说明两向量作为邻边构成的平行四边形面积为0，说明两向量平行或重合，则两直线无交点。

否则就相交，然后根据下面的函数模板求交点。

代码模板

double cross(Point a,Point b)
{
     
 return a.x * b.y - b.x * a.y;
}

Point intersection(Point p,Vector v,Point q,Vector w)
{
     
	Vector u = p - q;
	double t = cross(w,u) / cross(v,w);
	return p + v * t;
}

判断方法与证明

直线用点向式表示，即$p=p_0+tv$，p0是直线上的一定点，v是直线的一个向量，我们的每一个t都对应直线上的一个点。在计算几何中，直线最常用的就是点向式表示法。

那么我们问题就是如何求出这个t，从而求出交点呢？我们知道cross是求两向量叉积的，叉积的几何意义就是以这两个向量为邻边的三角形的面积的两倍。因为$a\times b=|a|\cdot |b|\cdot sin\theta$

如何我们来看这个求交点的求法，如下图：

如图，将$v$平移到同起点q处，有 $u=p-q$，直线交点是F，然后cross（w，u）就是三角形PQB面积的两倍，cross（v，w）是三角形ABQ面积的两倍，然后他们的比值 t就是两三角形面积的比值，并且两三角形同底，共同BQ底边，所以这个比值就是两高之比$h_1$比$h_2$。

然后再看三角形FPC和三角形QAD，他们有一组内错角相等，还有一直角相等，所以两三角形相似，因此两三角形的高之比就是两斜边之比，即PD比AQ也是t，因此那段距离PD和$v$的比就是t，所以p加上$tv$就是交点F。