计算几何之 判断两线段是否相交 代码模板与证明

判断两线段是否相交

已知两线段$a_1{a}_2$和$b_1{b}_2$，判断是否相交

代码模板

bool segment_intersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2)
{
     
	double c1 = cross(a2 - a1,b1 - a1), c2 = cross(a2 - a1,b2 - a1);
	double c3 = cross(b2 - b1,a2 - b1), c4 = cross(b2 - b1,a1 - b1);
	return (c1 * c2 <= 0 && c3 * c4 <= 0);
}

证明

有两条线段$a_1{a}_2$和$b_1{b}_2$，我们只需先证明$a_1$和$a_2$分别在$b_1{b}_2$的两侧，然后证明$b_1$和$b_2$分别在$a_1{a}_2$，当两个同时满足时，两线段一定相交。

然后关键就是如何判断两点在线段两侧，如下图：

如图有$v_1、v_2、v_3$三个向量，$v_1$与$v_2$的叉积对应的角度是${\theta }_1$，同理，$v_1$与$v_3$的叉积对应的角度是${\theta }_2$，这两个角度的sin值符号一定是相反的，因此如果$v_1$与$v_2$的叉积和$v_1$与$v_3$的叉积相乘，得到的答案小于等于零就说明位于两侧，否则就是同侧。注意这里的等于0说明有一个端点在另一条直线上，这个也算相交，所以说小于等于零。