子字符串查找（3）——BM算法

一、BM算法定义

BM（Boyer-Moore）算法，它和KMP算法一样都是从主串的最左端开始，然后不断右移的。
与KMP算法的不同之处在于：BM算法从右向左扫描模式字符串，并将它和文本字符串比较。
BM算法的效率比KMP算法高很多，常用于文本编辑器中的搜索匹配功能。

1-1 BM算法示例

二、基本思想

2.1 坏字符与好后缀

BM算法中存在两个概念：坏字符与好后缀

2-1 坏字符与好后缀

坏字符（Bad Character）

所谓坏字符，就是模式串与文本串在从右往左的匹配过程中，出现的第1个不匹配的文本字符。（如图2-1中的b）

那么，当匹配过程中出现“坏字符”如何处理？
应当将模式字符串右移，直至遇到一个与坏字符相同的模式字符或最终移动到坏字符+1位置（即没有遇到与坏字符匹配的模式字符）,如下图：

好后缀（Good Suffix）

所谓好后缀，就是模式串与文本串在从右往左的匹配过程中，出现的部分匹配的文本字符串后缀（如图2-1中的a、ba、aba）

那么，当匹配过程中出现“好后缀”如何处理？
应当将模式字符串右移，直至模式字符串与好后缀完全匹配或部分匹配或不匹配，如下图：

综上所述，在匹配过程中，如果当前字符匹配失败，则：
模式字符串右移位数 = Max { shift(坏字符) , shift(好后缀) }

2.2 算法示例

以字符串"HERE IS A SIMPLE EXAMPLE"，模式字符串"EXAMPLE"为例。

1. 首先，文本与模式串头部对齐，从尾部开始比较，发现"S"与"E"不匹配，所以"S"是"坏字符"，且不存在好后缀。
   由于模式串左侧中不存在与坏字符“S”相同的字符，故模式字符串右移至"S"位置+1，shift('S')=7，即模式字符串右移位数 = Max { 7, 0}=7

2. 再次从尾部开始比较，发现"P"与"E"不匹配，所以"P"是"坏字符"，且不存在好后缀。
   但是，模式串左侧“EXAMPL”中存在相同的字符"P"，故shift('P')=2，即模式字符串右移位数 = Max { 2, 0}=2

3. 依然从尾部开始比较，"MPLE"与"MPLE"匹配，直到"I"和"A"不匹配，所以"I"是"坏字符"，且存在好后缀"MPLE"。

4. 此时"I"和"A"不匹配，模式串左侧“EX”中不存在与坏字符"I"相同的字符，故shift('I')=3；
   模式字符串中存在与好后缀“MPLE”部分匹配的"E"，故shift('E')=6，模式字符串右移位数 = Max { 6, 3}=6

5. 依然从尾部开始比较，"P"和"E"不匹配，所以"P"是"坏字符"，且不存在好后缀。
   但是，模式串左侧“EXAMPL”中存在相同的字符"P"，故shift('P')=2，即模式字符串右移位数 = Max { 2, 0}=2

6. 然后再次从尾部开始逐位比较，发现全部匹配，于是搜索结束。

三、算法实现

BM算法在从右向左的比较过程中，当某个字符失配时，需要分别按坏字符算法 和好后缀算法 计算模式串需要右移的距离，然后取最大值，进行右移。

3.1 坏字符算法

/**
 * 构造坏字符数组 
 * bmBC['k']表示坏字符'k'在模式串中的最右位置，如不存在则为-1
 */
public int[] getBmBc(String ptn) {
    int[] bmBc = new int[R]; // R为字母表大小
    for (int c = 0; c < R; c++) {
        bmBc[c] = -1;
    }
    for (int i = 0; i < ptn.length(); i++) {
        bmBc[ptn.charAt(i)] = i;
    }
    return bmBc;
}

位移数(Shift) = 坏字符在当前模式串中的索引 - bmBC[坏字符];
(如果结果小于0，则置为1，因为模式串不能左移)

3.2 好后缀算法

1、构建辅助数组suffix[]：
suffix[i] = s 表示字符P[i]之前的子串，与模式串后缀匹配的最大长度，如下图所示，用公式可以描述：满足P[i-s, i] == P[m-s, m]的最大长度s。

 * 构建辅助后缀数组
 * suffix[i] = n 表示模式字符P[i]之前的子串，与模式串后缀匹配的最大长度为n
 */
private int[] getSuffix(String ptn) {
    int m = ptn.length();
    int[] suffix = new int[m];
 
    suffix[m - 1] = m;
    for (int i = m - 2; i >= 0; i--) { // i指向当前求解的字符
        int n = 0; // 记录相同后缀数量
        int k1 = i, k2 = m - 1;
        while (k1 >= 0 && k2 >= 0 && ptn.charAt(k1) == ptn.charAt(k2))
            n++;
        suffix[i] = n;
    }
    return suffix;
}

2、构建好后缀数组bmGs[]：
bmGs[i]表示遇到好后缀时，模式串应该右移的距离，其中i表示当前匹配失效的字符位置（也就是当前坏字符的位置）。
分为三种情况：

1. 模式串中无任何字符与好后缀匹配（这种情况右移距离最长）

2. 模式串中有前缀与好后缀部分匹配（这种情况右移距离次长）

3. 模式串中有子串与好后缀完全匹配（这种情况右移距离最短）

综上，我们应该尽量让一次移动的距离少一点，以免回退。

/**
 * 求解bmGs数组
 * bmGs[i]表示遇到好后缀时，模式串应该右移的距离，其中i表示好后缀前面一个字符的位置（也就是当前坏字符的位置）
 */
private int[] getBmGs(String ptn) {
    int m = ptn.length();
    int[] bmGs = new int[m];
    int[] suffix = getSuffix(ptn);
 
    // 1.模式串中无任何字符与好后缀匹配（这种情况右移距离最长）
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        bmGs[i] = m;
    }
 
    // 2.模式串中有前缀与好后缀部分匹配（这种情况右移距离次长）
    for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
        if (suffix[i] == i + 1) {
            for (int j = 0; j < m - 1 - i; j++) {
                if (bmGs[j] == m)
                    bmGs[j] = m - 1 - i;
            }
        }
    }
 
    // 3.模式串中有子串与好后缀完全匹配（这种情况右移距离最短）
    for (int i = 0; i < m - 1; i++) {
        bmGs[m - 1 - suffix[i]] = m - 1 - i;
    }
    return bmGs;
}

3.3 BM算法完整实现

public int search(String txt, String ptn) {
    int n = txt.length();
    int m = ptn.length();
 
    int[] bmBc = getBmBc(ptn); // 坏字符算法
    int[] bmGs = getBmGs(ptn); // 好后缀算法
 
    int i = 0, j = m - 1; // 指针i追踪文本，指针j追踪模式字符串
    while (i <= n - m) {
        j = m - 1; // 每次失配后，j重置为起始位置
        while (j >= 0 && ptn.charAt(j) == txt.charAt(i + j))
            j--;
 
        if (j < 0) // 完全匹配成功
            return i;
        else {
            char badChar = txt.charAt(i + j);  // i+j指向了当前正在比较的文本字符（坏字符）
            // 坏字符算法
            int len1 = j - bmBc[badChar] < 0 ? 1 : j - bmBc[badChar];
            // 好后缀算法
            int len2 = bmGs[badChar];
            // 取最大位移
            i += max(len1, len2); // 匹配失败
        }
    }
    return -1;
}

四、性能分析

• 预处理阶段
  时间复杂度和空间复杂度都是O(M)

• 搜索阶段
  时间复杂度：O(MN)
  最好情况下：O(N/M)

注：N为文本串长度，M为模式串长度