纯学术：衰变比你想象中还要慢

一篇写于高三的文章（2011-9-14），最近分析数据卡壳，回想起这篇文章，突然启发了我的灵感。果然是，世界上没有白费的思考。

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本文适合于对数学、物理很有爱，有耐心、爱思考，或对本人极端崇拜以至只要是我写的就什么都看的同学：

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物理课本上讲到半衰期的概念：“放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间”。但是大家有没有一个疑问，那就是氡的半衰期是3.8天，那么我以3.8天为一个单位计算若干天后氡的剩余量和以1.9天为单位计算得到的结果一不一样呢？若以3.8天算，那么第一个3.8天后剩余1/2。若以1.9天为单位，那么第一个1.9天衰变了1/4剩余3/4，第二个1.9天衰变了3/4的1/4，即3.8天后剩下9/16。上述两个结果明显矛盾。

问题在于我们认为衰变是在一个单位时间结束后的瞬间发生的（也就是没有考虑每过一段相当短的时间可衰变的元素都有减少，所以每个瞬间的衰变速度都比是对前面一个瞬间慢），所以可以用上面的方法计算，但实际上课本上讲的

50%衰变，仅对大量重复事件有意义。当原子数量“巨大”时，在T时间内，将会有50%的原子发生衰变，从数量上讲就是有“一半的原子”发生衰变。在下一个T时间内，剩下未衰变的原子又会有50%发生衰变，以此类推。放射性物质的原子核改变速度与当时的剩余的衰变原子核的总数N成正比，通俗的说就是衰变是均匀地分布在整个衰变过程中的，每过很小一段时间就有一点元素衰变，速度就变慢一点，所以当这个时间分得足够细，结果就不一样了。因为我们目前明显没有能力处理这类涉及微积分的问题，所以就简单写成课本上那样。事实是

课本中粗略的公式 n=N(1/2)^(t/T)

应该被n=N*e^(-kt)替代（k为衰变率，N是初始物质的量，n是t时刻物质的量，T是半衰期）

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这里不得不说e这个号称世界上最自然的数到底是什么。为了把这个问题说清楚，我在网上找了两段解释。 

公元前1700年左右，古巴比伦人就曾提出一个问题：

如果以20%的年利息贷款给别人，那么一年后你有多少钱？

这道题无非是一个简单的公式：1x(1+0.2)^1=1.2

如果每半年复利一次，则第一年的本利和为1x(1+0.2/2)^2=1.21

如果每季度复利一次，则为1x(1+0.2/4)^4=1.21550625

如果每月复利一次，则为1.2193910849

每天复利一次，则为1.221335858

如果每时、每分、每秒复利，第一年的本利和分别为1.2213999696、1.2214027117、1.2214027574。

从上面的计算可以看出，年率一定，分期复利，期数增加，本利和缓慢增大；但无论期数怎么增加，本利和并不会无限制地增大，而是有一个“封顶”，永远超过不了。这个封顶就是时时刻刻都在复利时第一年的本利和，用数学语言来将就是期数趋向无穷大时第一年本利和的极限。稍懂点微积分就能算出这个极限等于

e^0.2=1.2214027581

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另一解释是：

假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式：n=2^2x. 我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？

当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828...。因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。

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你会发现其实我关于衰变的叙述就是把细胞分裂问题和银行复利问题倒过来说了一道，实际上仔细想一下这就是两个相反的过程。所以就理所当然地得出了上面的半衰期公式。其中衰变问题速度比以2为底慢的原因在于一个单位时间（半衰期）内以衰变的元素不能再计入以后的计算，复利问题中要计算利息的利息，细胞分裂中一个单位时间内有的细胞分裂之后又分裂（指数套指数）。

 还有一点需要说明：题目“衰变比你想象中更慢”的意思只是理解上的问题，是指如果用课本上简化的公式理解衰变的模式会造成比实际偏快。但是因为半衰期是是科学家们通过测量带入正确公式计算的结果，所以书上给的半衰期应该是准确的。如果把这个正确的数据带入不准确的公式，就相当于把对数的底变小了，完成一定量衰变的时间算出来会偏大，也就是说实际计算出的结果恰恰相反，是“衰变比你计算的更快”

从上面我们得到一个教训：千万不要把你的秘密告诉别人，因为如果你的秘密平均一天被每个知道的人重复一次，3天后不是8个人知道，而是e^3也就是20个人知道！！（注：其实这个公式只在大量统计中适用，所以还是鼓励把各种秘密透露给我的！）

后记：写这篇日志是某天复习读到物理书上衰变那节突然觉得没对，联想到有点久之前读到一个关于e的文章，于是上网找了半天资料整理出来的，没想到引出来庞大的关于e的问题。读了一些资料后猛然发现原来e真的很神奇，还有一堆美丽的性质这里就不赘言了，感兴趣的自己查查吧。本文中关于半衰期的部分是我自己写的，关于e的部分多是从网上引用的（细胞分裂那个解释费了好大劲才找到）。