高考数学全国卷立体几何大题：四棱锥

四面体与四棱锥：2009年理科数学海南卷题19（12 分）

如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.

（I）求证∶;

（Ⅱ）若 平面 ，求二面角 的大小;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 上是否存在一点 ，使得 // 平面 . 若存在，求 的值；若不存在，试说明理由.

2009年理科数学海南卷

提示：首先思考以下问题：

分析以下三角形的形状特征：

请参考以下考题：2007年文数海南卷、2017年全国卷C（文数+理数）

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2014年文数全国卷B18

如图，四棱锥 中，底面 为矩形，平面 ，为 的中点.

（Ⅰ）证明∶ // 平面 ;

（Ⅱ）设 ，三棱锥 的体积 ，求 到平面 的距离.

2014年文数全国卷B18

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2014年理数全国卷B18

如图，四棱锥 中，底面 为矩形，平面 ，为 的中点.

（Ⅰ）证明∶ // 平面 ;

（Ⅱ）设二面角 为 ，，求三棱锥 的体积.

2014年理数全国卷B18

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四面体：2017年文科数学全国卷C题19（12分）

如图，四面体 中， 是正三角形，.

（1）证明∶ ;

（2）已知 是直角三角形，，若 为棱 上与 不重合的点，且 ，求四面体 与四面体 的体积比.

2017年文科数学全国卷C

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四棱锥：2010年理科数学全国卷题18（12分）

如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形，，垂足为 ， 是四棱锥的高， 为 中点.

（1）证明∶;

（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

2010年理科数学全国卷

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四棱锥：2010年文科数学全国卷题18（12分）

如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形，，垂足为 ， 是四棱锥的高.

（1）证明∶平面 平面 ;

（2）若 ，求四棱锥 的体积.

2010年文科数学全国卷

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四棱锥：2011年理科数学北京卷题16（14分）

如图，在四棱锥 中， 平 面 ，底面 是菱形，

（Ⅰ）求证∶平面 ;

（Ⅱ）若 ，求 与 所成角的余弦值;

（Ⅲ）当平面 与平面 垂直时，求 的长.

2011年理科数学北京卷

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四棱锥：2012年理科数学大纲卷题18（12 分）

如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ，， 是 上的一点，

（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

（Ⅱ）设二面角 为 ，求 与平面 所成角的大小.

2012年理科数学大纲卷

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四棱锥：2016年理科数学全国卷C题19（12分）

如图，四棱锥 中， 底面 , , ， 为线段 上一点，， 为 的中点.

（I）证明 //平面 ;

（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.

2016年理科数学全国卷C

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四棱锥：2016年文科数学全国卷C题19（12分）

如图，四棱锥 中， 底面 , , ， 为线段 上一点，， 为 的中点.

（I）证明 //平面 ;

（Ⅱ）求四面体 的体积.

2016年文科数学全国卷C

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四棱锥：2017年理科数学全国卷A题18（12 分）

如图，在四棱锥 中，，且

（1）证明∶平面 平面 ;

（2）若 ，求二面角 的余弦值.

2017年理科数学全国卷A

提示：此题用几何方法解答效率较高。注意几个三角形的形状特征。可以参考一下这个题：2007年文数海南卷。

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四棱锥：2017年理科数学全国卷B题19（12分）

如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，， 是 的中点.

（1）证明∶直线 //平面 ;

（2）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.

2017年理科数学全国卷B

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四棱锥类问题

四棱锥：2017年文科数学全国卷A题18 （12 分）

如图，在四棱锥 中，，且

（1）证明∶平面 平面 ;

（2）若 ，且四棱锥 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积.

2017年文科数学全国卷A

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四棱锥：2017年文科数学全国卷B题18（12分）

如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，

（1）证明∶直线 // 平面 ;

（2）若 的面积为 ，求四棱锥 的体积.

2017年文科数学全国卷B

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四棱锥：2016年理科数学北京卷题17

（17）（本小题14 分）

如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， , , .

2016年理科数学北京卷题17

（Ⅰ）求证∶ 平面 ;

（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值;

（Ⅲ）在棱 上是否存在点 ，使得 // 平面 ? 若存在，求 的值；若不存在，说明理由.

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