t 检验

定义

检验是检验统计量，服从 t 分布的假设检验方法

t 检验的检验统计量的一般形式如下：
$$t=\frac{Z}{s}$$
其中 $Z$ 是一个对备选假设敏感的变量。何谓敏感？如备选假设为真时，$Z$ 可以越大。$s$ 则是一个比例系数，用于将 $t$ “拉近” t 分布。

例如，对单样本 t 检验，检验统计量为：
$$t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$
其中 $\bar{X}$ 为样本均值，${\mu }_0$ 是通过假设确定的常量，$s$ 是样本方差，即总体方差的无偏估计，$n$ 为样本容量。

大家可以比较一下，上述的 t 对应的 Z、s。

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应用条件

以单样本为例：
$$\begin{array}{rl}& 1.\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})，其中E(X)=\mu ,Var(X)={\sigma }^2\\ & \\ & 2.\frac{s^2(n-1)}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)\\ & \\ & 3.Z,s相互独立，即\bar{X}-{\mu }_0和s/\sqrt{n}相互独立\end{array}$$
对于双样本，上述条件亦是成立的。此时只要将 $\bar{X}$ 改为 $\bar{X}-\bar{Y}$。其余参数亦略加修改，且要求 $Var(X)=Var(Y)=\sigma$ 即可。

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条件讨论

以单样本为例：

满足应用条件的情况

（1）总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ , 样本 $X_1,X_2,\cdots ,X_{n}i.i.d$，且总体分布为正态分布。

---

很容易证明 $\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$，由于 $s=\frac{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2}{n-1}$ ，故：
$$\frac{s^2(n-1)}{{\sigma }^2}=\frac{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2}{{\sigma }^2}$$
根据卡方分布的定义，可知 $\frac{s^2(n-1)}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

---

（2）总体，样本可以不是正态分布，如：

总体正态，样本不 $i.i.d$，且不正态
总体不正态，样本当然也不正态

但满足上述三个条件，也可以用 t 检验。

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不满足应用条件，但可以使用的情况

检验统计量 $t$ 近似于 t 分布时，一般就可以用 t 检验了。

（1）
总体不需要是正态，样品不需要是正态：

• $1^{\circ }$但接近于正态，
  $2^{\circ }$且 $n$ 足够时，
  $3^{\circ }$进行的是单边检验。

（2）
总体、样品可以偏离正态（程度可以很 large），但在大样本下，根据中心极限定理，均值的比较问题既可以用 t 检验，也可以用 U检验。

同时，大样本条件下，t 检验是渐进于 U 检验的。

（3）
对双样本，若 ${\sigma }_1\ne {\sigma }_2$，但若 $n_1=n_2$，可以使用 t 检验。

对双样本，若 ${\sigma }_1\ne {\sigma }_2$，考虑使用 Welch t 检验。

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单样本 t 检验

设总体 X 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\mu$ 未知，$\sigma$ 未知。现从总体中抽出 $n$ 个 $i.i.d$ 的样品 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$，共同的分布为总体分布。

验证假设：
$1^{\circ }:H_0:\mu ={\mu }_0{H}_1:\mu \ne {\mu }_0$
$2^{\circ }:H_0:\mu \le {\mu }_0{H}_1:\mu >{\mu }_0$
$3^{\circ }:H_0:\mu \ge {\mu }_0{H}_1:\mu <{\mu }_0$

1°

对于第一种假设，原假设取值为一个点，备选假设取值为两边，这类假设对应的检验，也叫双边检验。根据定义，检验统计量为：
$$t=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{s}$$
其中，$s^2$ 为方差 ${\sigma }^2$ 的无偏估计。

根据样本的性质，可知 $\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$ ，于是 $t\sim t(n-1)$。

根据假设检验的一般步骤：
$$\begin{gathered} 给定显著水平\alpha ，\because |t|\uparrow ,H_0越难成立， \\ \Downarrow \\ 令：P\{|t=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{s}|>C|H_0\}\le \alpha \\ 在原假设和成立时，\bar{X}\sim N({\mu }_0,{\sigma }^2/n)，t\sim t(0,1) \\ \Downarrow \\ C=t_{\alpha /2}(n-1),t_{1-\alpha /2}(n-1) \\ \Downarrow \\ 求得拒绝域为t\in (-\infty ,t_{\alpha /2}(n-1))\cup (t_{1-\alpha /2}(n-1),+\infty ) \end{gathered}$$
故只要求出检验统计量的观察值，根据拒绝域做出判断即可。

注意，检验是否属于双边，不是由拒绝域是否双边决定的，而是由假设决定。

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2°

根据定义，检验统计量为：
$$t=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{s}$$
根据假设检验的一般步骤
$$\begin{gathered} 给定显著水平\alpha ，\because t\uparrow ,H_0越难成立， \\ \Downarrow \\ 令：P\{t=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{s}>C|H_0\}\le \alpha \\ P\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{s}>C|\mu \le {\mu }_0\}\le \alpha \\ \Downarrow \\ P\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{s}>C+\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s}|\mu \le {\mu }_0\} \\ \Downarrow \\ \because \frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s}随着\mu \uparrow 单调递增 \\ \therefore \mu ={\mu }_0时，P\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{s}>C+\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s}\}最大 \\ \Downarrow \\ 此时\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{s}\sim t(n-1) \\ \Downarrow \\ C=t_{1-\alpha }(n-1) \\ \Downarrow \\ 求得拒绝域为t\in (t_{1-\alpha }(n-1),+\infty ) \end{gathered}$$
对于这类假设为单边，也称为单边（one-tailed）检验。单边检验的显著水平 $\alpha$，是对每个 $\mu$ 都成立的上确界。而相反的，双边检验的原假设，往往对应一个值。

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3°

根据定义，检验统计量为：
$$t=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{s}$$
根据假设检验的一般步骤
$$\begin{gathered} 给定显著水平\alpha ，\because t\downarrow ,H_0越难成立， \\ \Downarrow \\ 令：P\{t=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{s}<C|H_0\}\le \alpha \\ P\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{s}<C|\mu \ge {\mu }_0\}\le \alpha \\ \Downarrow \\ P\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{s}<C+\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s}|\mu \le {\mu }_0\} \\ \Downarrow \\ \because \frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{t}随着\mu \uparrow 单调\downarrow \\ \therefore \mu ={\mu }_0时，P\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{t}<C+\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{t}\}最大 \\ \Downarrow \\ 此时\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{t}\sim t(n-1) \\ \Downarrow \\ C=t_{\alpha }(n-1) \\ \Downarrow \\ 求得拒绝域为Z\in (-\infty ,t_{\alpha }(n-1)) \end{gathered}$$

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实验设计

在进行采样时，通常需要事前确定 $n$。

以 2° 为例，给定显著水平 $\alpha$，$\because t\uparrow ,H_0$ 越难成立，$\therefore$ 设定检验标准（拒绝）为：$t>C$。

定义势函数为：

为了书写方便，这里将自由度，移到下标去啦，大家见谅哈。。总不能一大推符号做下标吧

$$\begin{array}{rl}p(\mu )& =P\{t>C|\mu \in (-\infty ,\infty )\}\\ & =P\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{s}\ge C+\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s}|\mu \in (-\infty ,\infty )\}\\ \because & \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{s}\sim t_{n-1}\\ & =1-t_{n-1}(C-\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s})\end{array}$$
取 $\alpha$，则根据检验标准的临界值求取法则，有：
$$\underset{\mu }{\sup }\{1-t_{n-1}(C-\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s})|\mu \in (-\infty ,{\mu }_0)\}<=\alpha$$
最后得到检验标准的临界值 $C=t_{n-1}(\alpha -1)$

回代入势函数，可得：
$$p(\mu )=1-t_{n-1}(t_{t_{n-1}(\alpha -1)}-\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s})$$
其中有两个重要的性质：

1. 势函数是 $\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s}$ 的函数，且是连续的、非减的。
2. $$\begin{gathered} \underset{\mu \to {\mu }_0}{\lim }{t}_{n-1}(t_{t_{n-1}(\alpha -1)}-\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s})=\alpha \\ \underset{\mu \to +\infty }{\lim }{t}_{n-1}(t_{t_{n-1}(\alpha -1)}-\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s})=1 \end{gathered}$$

设无差别区域为 $\mu \in ({\mu }_0,\Delta )$，则对于 $[\Delta ,+\infty ]$，给定一个 $\beta$，使得 $p(\mu )\ge 1-\beta$。由于势函数是非减的，故问题转换为临界问题：
$$\begin{array}{r}p(\mu )=1-t_{n-1}(t_{t_{n-1}(\alpha -1)}-\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s})=1-\beta \\ t_{n-1}(t_{t_{n-1}(\alpha -1)}-\frac{\sqrt{n}({\mu }_0-\mu )}{s})=\beta \end{array}$$
从而得出适当的 $n,\sigma$ ，前者对应采样容量，后者是在测量问题上，可考虑提高测量精度。

其中，$\beta$ 是当备选假设成立时，原假设被错误地接受的概率的临界值。

通过 $\beta ,\alpha ,\Delta$，即可知道我们进行试验设计，得出适当的 $n$ 。

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双样本 t 检验

双样本 t 检验作为一种 t 检验，都是因为 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 未知。

学生 t 检验

设总体 $X，Y$ 服从正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知，${\sigma }_1={\sigma }_2$ 未知。现从总体中抽出 $n$ 个独立同分布的样品 $X_1,X_2,\cdots ,X_{n1}；Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n_2}$。

验证假设：
$1^{\circ }:H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=d_0{H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne d_0$
$2^{\circ }:H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le d_0{H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2>d_0$
$3^{\circ }:H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\ge d_0{H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2<d_0$

学生 t 检验要求 ${\sigma }_1={\sigma }_2$，检验统计量为：
$$t=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-d_0}{s\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$
其中：
$$s=\frac{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2+\sum (Y_i-\bar{Y}{)}^2}{n_1+n_2-2}$$
$n_1,n_2$ 分别为总体 $X,Y$ 的样本容量。

同样地，可证明检验标准的临界值，给定显著统计量 $\alpha$ 下，由于 $t\sim t(n-1)$，可求的 1°、2°、3°（对 2°、3° 而言，需要求上确界）的拒绝域分别为：

1. $t\in (-\infty ,t_{\alpha /2}(n-1))\cup (t_{1-\alpha /2}(n-1),+\infty )$
2. $t\in (t_{1-\alpha }(n-1),+\infty )$
3. $t\in (-\infty ,t_{\alpha }(n-1))$

---

综上，要应用上述学生 t 检验，一般需要：

1. 总体正态
2. 样本 $i.i.d$
3. ${\sigma }_1={\sigma }_2$

当 $n_1=n_2$ 时，条件 3 不满足时，也可以使用学生 t 检验。

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Welch t 检验

设总体 $X，Y$ 服从正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知，${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 未知。现从总体中抽出 $n$ 个独立同分布的样品 $X_1,X_2,\cdots ,X_{n1}；Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n_2}$。

验证假设：
$1^{\circ }:H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=d_0{H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne d_0$
$2^{\circ }:H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le d_0{H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2>d_0$
$3^{\circ }:H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\ge d_0{H}_1:{\mu }_1-{\mu }_2<d_0$

学生 t 检验 不 要求 ${\sigma }_1={\sigma }_2$，检验统计量为：
$$t=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-d_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$$
$n_1,n_2$ 分别为总体 $X,Y$ 的样本容量，$s_1,s_2$ 分别是样本方差。

可以证明，t 渐进服从自由度为：
$$\text{d.f.}=\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}{)}^2}{\frac{(s_1^2/n_1{)}^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2{)}^2}{n_2-1}}$$
的 t 分布。

同样地，可证明检验标准的临界值，给定显著统计量 $\alpha$ 下，由于 $t\sim t(\text{d.f.})$，可求的 1°、2°、3°（对 2°、3° 而言，需要求上确界）的拒绝域分别为：

1. $t\in (-\infty ,t_{\alpha /2}(\text{d.f.}))\cup (t_{1-\alpha /2}(\text{d.f.}),+\infty )$
2. $t\in (t_{1-\alpha }(\text{d.f.}),+\infty )$
3. $t\in (-\infty ,t_{\alpha }(\text{d.f.}))$

由于此时 $t(\text{d.f.})$ 是估计分布，因此 $\alpha$ 不是真实水平

---

综上，要应用上述学生 t 检验，一般需要：

1. 总体正态
2. 样本 $i.i.d$

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配对样本 t 检验

当验证某些假设时，设计的试验不可避免地带有噪声因素，如：

1. 验证某降血糖的药物是否有效时，会因试验者的体质，影响药物的作用
2. 验证某肥料是否对作物产量有作用时，会因土壤强度而不同。

以第一例来说，试验的设计断然不能是：

在人群中取 n 个样品，一部分人不吃药，另一部分人吃药，再测血糖

原因是：人体质的不同，导致有些人不吃药，血糖可能都比吃了药的人还要低。也即，存在噪声因素。

因此，为了消除噪声因素，试验应：

在人群中取 n 个样品，对每一个样品，吃药前测一次血糖，吃完药再测一次血糖，以两者之差，作为样本点。

案例

为了比较安眠药的疗效，从人群中抽出 $n$ 个样品，分别记服药前后的睡眠时长为 $X_1,X_2$。令 $X=X_1-X_2$。由于 $X_1,X_2$ 不是来自同一总体的样本，且不独立（配对），所以 $X$ 消除了不同个体的引起差异，使得 $X$ 的各个观测值仅由两种安眠药的差异引起。假定 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu ,\sigma$ 均未知。

验证假设：
$1^{\circ }:H_0:\mu ={\mu }_0{H}_1:\mu \ne {\mu }_0$
$2^{\circ }:H_0:\mu \le {\mu }_0{H}_1:\mu >{\mu }_0$
$3^{\circ }:H_0:\mu \ge {\mu }_0{H}_1:\mu <{\mu }_0$

由于 $\sigma$ 未知，所以在得到 $X$ 的一组观测值后，就可以使用 单样本 t 检验 的方法，判断安眠药的效果。

差异讨论

配对 t 检验和双样本 t 检验有何不同？

• 配对 t 检验的样品的分布可以是未知的，如人的睡眠时间服从的分布可以不必知道
• 配对 t 检验的每一对样品，可能都有不同的分布，如一个人的睡眠时长是一个随机变量，但服从的分布不一定相同。由于体制原因，服药后的睡眠时间，亦不相同
• 配对是不独立的
• 配对 t 检验是一种“曲线”求解，配对是为了消除噪声因素的影响
• 配对 t 检验的配对，对配对本身来说，属于同一个统计单元，当配对之间，统计单元都不同。而双样本 t 检验的统计单元，对同一样本内，是相同的。
• 配对 t 检验不是双样本 t 检验

配对 t 检验和单样本 t 检验的不同：

• 配对 t 检验本质上是单样本 t 检验
• 单样本 t 检验直接计算，得到检验统计量
• 配对 t 检验的自由度等于配对数，而单样本 t 检验的自由度是样本数。

分区组试验

对于肥料对农作物产量的作用，的验证问题而言，土壤强度绝对是一个误差因素。但进行单个体，两测量的做法显然是不现实的，因为：

1. 两次观察的间隔太久了
2. 在完成一次观测后，下一次观测时，土壤强度等因素发生了变化

此时，就要分区组进行试验。假设试验的范围是某一个村，此时可以将土壤强度相近、试验条件相近的土地，划分为一个区组，并在区组内设置对照组、实验组，从而得到配对。

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Technical Note

概念	含义
统计单元	从收集数据的角度来谈，指某一数据的来源性质，如某一数据来自某一特定区域的人、如一个广州人；又或者是来自一个性别，如一个男人等；又如某土壤采集自土地 A。想这些，广州人、土地 A，就是统计单元。样本中的样品可以有不同的统计单元。
分区组	在设计试验时，为了消除噪声因素，常常进行分区组。如测试肥料的效果时，土壤的强度便成为一个噪声因素。为此，需要将土地分区，再在同一块土地上，进行对照试验。

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附录

假设检验一般步骤

1. 制定原假设、备选假设
2. 制定检验统计量
3. 取显著水平$\alpha$，得出接受域、拒绝域
4. [取 $\beta$，根据势函数得出 $n$]
5. 判断检验统计量的观察值，所处的域，决定是否接受原假设

---

4. [取 $\alpha ,\beta$，根据势函数得出 $n$]
5. 根据检验统计量的观察值，求出其 p-值，并据此做出决策

详见博文：假设检验

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势函数

势函数是包含了所有检验下，犯第一类错误的概率，和识别备选假设的能力。

详见博文：假设检验

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t 分布

若 $X\sim N(0,1),S\sim {\chi }_n^2$，则 $Y=X/\sqrt{S/n}$ 的分布为：
$$t(n)=\frac{\Gamma ((n+1)/2)}{\sqrt{n\pi }\Gamma (n/2)}(1+\frac{y^2}{n}{)}^{-\frac{n+1}{2}}$$
即自由度为 $n$ 的 t 分布。

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推荐书目

• 上海市教育委员会，叶慈南，曹伟丽《应用数理统计》，机械工业出版社，2007年1月第一版，第二次印刷（P113~119）
• 学生 t 检验——维基百科

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