1.5、数系的扩充与复数的引入

一、数系的扩充和复数的概念

1、虚数单位

• i叫做虚数的单位，并规定；
• 实数与复数进行四则混合运算时，原有的加、乘运算律依然成立。i的幂的周期性：

2、负数概念

形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，复数通常用一个字母z表示,即z=a+bi（a，b∈R），其中a叫做它的实部，记作Re(z),即Re(z)=a;b叫做它的虚部，记作Im(z),即Im(z)=b
全体复数构成的集合叫做复数集，用字母C表示。相关的几种形式

• 复数a+bi（a，b∈R），当b= 0时，叫实数
• 复数a+bi（a，b∈R），当b≠ 0时，叫虚数
• 复数a+bi（a，b∈R），当a= 0，b≠ 0时，叫纯虚数
• 复数a+bi（a，b∈R），当a≠ 0，b≠ 0时，叫非纯虚数
  复数：由实数和虚数组成。实数分为有理数与无理数，虚数分为纯虚数与非纯虚数。

3、复数相等的条件及应用

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即如果a+bi=c+di⇔a=c且b=d
如果a+bi=0 ，则a=0，b=0

4、复数的几何意义

• 复数与平面直角坐标系
  每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来，平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对，这样我们通过有序实数对，可以建立复数z=a+bi和点z（a，b）（或向量）之间的一一对应关系。
• 复平面
  建立了直角坐标系表示复数的平面叫做复平面。复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i。
• 复数的向量表示
  我们知道直角坐标平面内的任意一点z（a，b），有唯一的向量与之对应，而平面内的点z（a，b）与复数集中的复数z=a+bi（a，b∈R）也是一一对应的，因此一个复数确定唯一一个以原点为起点的向量，根据向量相等的定义，也就是一个复数确定唯一一个平面向量。反之，一个平面向量有唯一一个复数与之对应。

5、复平面内|z|的意义

实数集中，实数|a|表示实数a的点与原点O之间的距离，那么在复数集中，类似的，|z|表示复数z的点z到坐标原点间的距离，也就是向量的模，|z|=||

6、复平面内任意两点间的距离

设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为,则|PQ|=||
利用此性质，通常可以解决很多求轨迹的问题，灵活应用复数的模可以求解。

二、复数代数形式的四则运算

1、复数的加法

• 加法的定义
  实部与实部相加，虚部与虚部相加
• 加法的运算律
• 复数加法的几何意义：同向量知识结合，满足向量加法的运算法则

2、复数的减法

• 相反数：a+bi的相反数是-a-bi
• 减法原则：实部与实部相减，虚部与虚部相减
• 复数减法的几何意义：向量的减法的几何解释与复数的几何解释一致。
• 两点间的距离公式：
  设,则||=||=|(a-c)+(b-d)i|=

3、复数的乘法

4、复数的除法

5、共轭复数

• 概念：如果两个复数实部相等，虚部为相反数时，这两个复数为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭复数。
  复数z= a+bi（a，b∈R）,则=a-bi
• 共轭复数的性质
  设z= a+bi，=a-bi（a，b∈R）∈C，则
  ①= z
  ②z = ⇔z为实数
  ③ =-z⇔z为纯虚数
  ④z.=1,则|z|=1
  ⑤z.=|z|=||=
  ⑥z+=2a z-=2bi
  ⑦= ++...+
  ⑧= -
  ⑨= ...
  ⑩= (≠0)

6、特殊的复数ω=

① =
② = =-
③=-1
④=0
⑤|ω|=||=1

7、复数的集合表示

复数(C),虚数(I),实数(R),整数(Z)，正整数()，自然数(N)，有理数(Q)