下面就让我们跟着吴恩达老师来学习单变量线性回归这个基础算法啦！！有问题的尽管提出来就好啦！！！
在很多朋友们学习统计学或者机器学习时，一般第一个算法都是线性回归算法，在下面的学习中，你将会了解到监督学习过程完整的流程。关于监督学习的简述可以看我之前的文章哦！！
一、模型表示
先从一个例子入手。
这个例子是预测住房价格的，我们要使用一个数据集，数据集包含俄勒冈州波特兰市的住房价格。在这里，我要根据不同房屋尺寸所售出的价格，画出数据集。假如，你的房子是1250平方尺大小，你要是卖了你能收到多少钱？我们现在可以做的就是根据数据构建一个模型，也许是条直线。
根据以往的数据可以拟合一条直线，然后就可以大概在直线上找到1250平方尺大小对应的房子价格，就在220000$左右(看到上图绿色虚线与数字）。
这也是一个很典型的监督学习算法的例子，因为对于每个数据，我们给出了“正确的答案”，即告诉我们：根据我们的数据来说，房子实际的价格是多少，更具体地来说，这是一个回归问题。回归就是我们根据之前的数据预测出一个准确的输出值，对于以上例子就是要预测一个准确的房价，同时，还有另一种最常见的监督学习方式，叫做分类问题（参考第一章）。在监督学习中，我们可以把已给的数据集，称为训练集（Training Set）。
已房屋问题为例，现在已有的数据集如下图：
首先定义一下这个房屋回归问题中牵涉的标记：
m——训练集中实例的数量，即样本数
x——特征或者是输入变量，在此问题中就是房间平方尺数
y——目标变量或者是输出变量，在此问题中就是价格
（x,y)——训练集中的实例，即样本
（x^i ,y^i）——第i个实例，即第i个样本
h——学习算法的解决方案或者函数也称为假设
上图是监督学习的工作方式，首先把训练集放进算法，然后就会输出一个算法的解决方案h，然后把输入变量x输入，在房屋例子中就是房屋的平方尺数，然后通过h可以计算出输出变量y，在房屋例子中就是房屋的价格。因此h是一个从x到y的函数映射。
步骤和数据集都有了，接下来的问题就是如何定义和表达h呢？
h可被表达为：，因为只含有一个特征（输入变量），因此这样的问题叫作单变量线性回归问题。
二、代价函数
在线性回归中我们有一个像上图的训练集，m=47（样本量为47）。假设函数，此假设函数就是用来预测的函数。
接下来我们要做的就是为模型选择合适的参数。在房屋问题中，是直线的斜率，是在y轴上的截距。
我们选择的参数决定了我们得到的直线相对于我们的训练集的准确程度，模型所预测的值与训练集中实际值之间的差距（上图中蓝线所指）就是建模误差。我们的目标便是选择出可以使得模型误差的平方和最小的模型参数。
这里可以引出代价函数：，目标就是使代价函数最小。
我们绘制了一个等高线图，三个坐标分别是和，可以从图中看出，在三维空间中存在一个使最小的点。
代价函数也被称作平方误差函数，有时也被称作为平方误差代价函数。我们之所以要求出误差贫寒方和，使因为误差平方代价含糊对于大多数问题都是一个合理的选择，特别是回归问题。还有其他的代价函数也能很好地发挥作用，但是平方误差代价函数可能是解决回归问题最常用的手段了。
下面我们就对代价函数做个简单的可视化。设假设函数（令）。那么此时的代价函数为，我们的优化目标就是令最小化。
通过对比假设函数和代价函数，我们可以观察到，假设函数是关于x的函数，而代价函数是关于的函数，它控制着直线的斜率。
现在来绘制这两个函数让我们更深入地了解。我们暂时设，可以绘制出的图像。当时，,所以。如下图
当时，斜率是一条0.5的直线，只给了三个样本，所以样本量m=3，此时得到代价函数
，如下图。
以此类推可以求出...对应的根据求出来的值可以绘制以下图像。
对于每个不同的都有对应的，可以从图中看出，当时，对应的是最小的。那么我们的目的就达成了。线性回归的目标就是找到适合的，使得代价函数最小。
三、梯度下降
梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降法来求出代价函数的最小值。
梯度下降背后的思想：开始时我们随机选择一个参数的组合,计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到找到一个局部最小值（local minimum），因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值（global minimum），选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值。
可能这样说有点抽象，我们再说得简单易懂些。
想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上（如上图），在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转360度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用最快的路线小碎步下山。这些小碎步需要朝什么方向？如果我们站在山坡上的这一点，你看一下周围，你会发现最佳的下山方向，你再看看周围，然后再一次想想，我应该从什么方向迈着小碎步下山？然后你按照自己的判断又迈出一步，重复上面的步骤，从这个新的点，你环顾四周，并决定从什么方向将会最快下山，然后又迈进了一小步，并依此类推，直到你接近局部最低点的位置。我们可以认为梯度下降法就是最快下山，就是根据你认为最快的路线和方向一点点小碎步下山，到达最低点。
批量梯度下降（batch gradient descent）算法的公式为：
其中是学习率（learning rate），符号“”代表赋值。学习率决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大，如果 值很大，我们将会迈着很大的步子下山，梯度下降就很迅速，相反则步子很小梯度下降缓慢。在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数。求导的目的就是求出与函数相切的直线的斜率。
我们将会反复做梯度下降，直到达到最低点。
实现梯度下降算法的微妙之处是对于梯度下降法的公式，你需要同时更新和，那就是说你要计算出公式的右边部分，然后赋值到公式左边的部分。下面会给出公式来阐述这个更新的过程。
先把公式右边计算出来的结果赋值给temp0，然后再把temp0赋值给，也是同样的方法。
在梯度下降算法中，这是正确实现同时更新的方法。当人们谈到梯度下降时，他们的意思就是同步更新。
学习率太大或太小
如果太小了，即我的学习速率太小，结果就是只能这样像小宝宝一样一点点地挪动，去努力接近最低点，这样就需要很多步才能到达最低点，所以如果太小的话，可能会很慢，因为它会一点点挪动，它会需要很多步才能到达全局最低点。
如果太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到你发现实际上离最低点越来越远，所以，如果太大，它会导致无法收敛，甚至发散。
现在有个问题，如果我们预先把放在一个局部的最低点，你认为下一步梯度下降法会怎样工作？
假设你将初始化在局部最低点，在这儿，它已经在一个局部的最优处或局部最低点。结果是局部最优点的导数将等于零，因为它是那条切线的斜率。这意味着你已经在局部最优点，它使得不再改变。因此，如果你的参数已经处于局部最低点，那么梯度下降法更新其实什么都没做，它不会改变参数的值。这也解释了为什么即使学习速率保持不变时，梯度下降也可以收敛到局部最低点。
下面来看一个例子。
我想找到它的最小值，首先初始化我的梯度下降算法，在那个紫色的点初始化，如果我更新一步梯度下降，也许它会带我到这个点，因为这个点的导数是相当陡的。现在，在这个绿色的点，如果我再更新一步，你会发现我的导数，也即斜率，是没那么陡的。随着我接近最低点，我的导数越来越接近零，所以，梯度下降一步后，新的导数会变小一点点。然后我想再梯度下降一步，在这个绿点，我自然会用一个稍微跟刚才在那个紫色点时比，再小一点的一步，到了新的红色点，更接近全局最低点了，因此这点的导数会比在绿点时更小。所以，我再进行一步梯度下降时，我的导数项是更小的，更新的幅度就会更小。所以随着梯度下降法的运行，你移动的幅度会自动变得越来越小，直到最终移动幅度非常小，你会发现，已经收敛到局部极小值。
回顾一下，在梯度下降法中，当我们接近局部最低点时，梯度下降法会自动采取更小的幅度，这是因为当我们接近局部最低点时，很显然在局部最低时导数等于零，所以当我们接近局部最低时，导数值会自动变得越来越小，所以梯度下降将自动采取较小的幅度，这就是梯度下降的做法。所以实际上没有必要再另外减小学习率。
这就是梯度下降算法，你可以用它来最小化任何代价函数，不只是现行回归中的代价函数。
我们刚刚使用的算法，有时也称为批量梯度下降。实际上，在机器学习中，通常不太会给算法起名字，但这个名字”批量梯度下降”，指的是在梯度下降的每一步中，我们都用到了所有的训练样本，在梯度下降中，在计算微分求导项时，我们需要进行求和运算，所以，在每一个单独的梯度下降中，我们最终都要计算这样一个东西，这个项需要对所有m个训练样本求和。因此，批量梯度下降法这个名字说明了我们需要考虑所有这一"批"训练样本，而事实上，有时也有其他类型的梯度下降法，不是这种"批量"型的，不考虑整个的训练集，而是每次只关注训练集中的一些小的子集。
参考：https://github.com/fengdu78/Coursera-ML-AndrewNg-Notes