基于计算机的数学教育

阻碍我们前进的不是前面的高山，而是鞋里的沙子。

这句话同样适用于当前的数学教育，数学中打败你的不是高深的概念，而是繁冗困难的计算。

解决问题的计算思维是一种思维方式，由四个步骤组成，如下图：

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1. 定义问题:理解问题的目标，含义，探查问题各方面的信息。
2. 抽象:抽象出数量、概念、关系、代码、图表、算法，将问题转化为数学形式。抽象包括了分析与综合两种抽象方法。
3. 计算答案：进行计算，可借助工具。
4. 解释结果：答案是否解决了问题，验证答案的正确性，或通过下一轮四个步骤迭代修正错误。

计算思维是螺旋式迭代过程：

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目前数学教育最大问题是偏重于四个步骤中的第三步计算，而忽视了其它更重要的三个步骤。数学不等与计算，数学远远大于计算，第三步计算工作早就可以交由计算机完成，学生应该把更多的精力用在其它三个步骤上，从而使学习更有动力及热情，学习更多有用的数学知识和技能。解决目前数学教育弊端的办法就是借助计算机，建立基于计算机的数学课程，让学生有精力研究问题本身，通过解决问题，理解数学概念本身的含义。

问题是数学的心脏。

基于计算机的数学课程要满足11方面成果要求。

1. 处理新问题的信心

学生通过四步法显示对处理新问题的信心，学生使用四步法克服困难或者未知情形并且能在新场景中运用以前学到的方法、概念和工具。他们能在过程中克服难点并且在需要时学会使用新工具。

• 记得四步法
• 能应用四步法
• 能将大问题分解为小问题，能将小问题再综合成大问题
• 能将先前的工具应用到新问题中去
• 知道如何自学新工具
• 能解读他人的工作，阅读他人的报告，理解他人解决问题的建议，能自信的提出质疑

2. 数学的直觉

学生能根据经验“嗅到”某些地方有错误，他们能意识到普通错误，能有效的使用数学概念。

3. 定义问题

学生通过组织解决问题需要的信息以及识别出便于解决的较小问题来开始问题解决的过程。

• 从可用信息中筛选出重要信息
• 识别出需要寻找或者需要计算出来的缺失信息
• 精确陈述待解决的问题
• 识别、陈述、解释所做的假设

4. 抽象出数学概念

学生通过他们提出的精确问题、制定的策略或数学概念开始探索将问题转化成数学形式，他们组织他们的信息并且识别重要概念以及这些内容对目标的适用性。

• 确定抽象的目的，精炼信息，创建联系，陈述这样做的理由
• 建立概念或数据之间的联系，组织流程或变量之间的依赖性

5. 数学概念

概念就是你要完成的事情，就像挂一幅画、解一个方程、描述一个事件的可能性。工具就是你用来做这件事的器材，就像胶水、钉子、螺丝钉、图、公式、正态分布等。大多数概念起始于一个工具，你为一个给定的问题发明了一个概念，用一个工具解决他。但话说回来，人们也可能搜集了一系列工具然后用伞这个概念来概括他们。强调使用工具操作上一步从问题抽象出的数学概念，形成对解决问题有帮助的抽象概念。

6. 数学工具

工具以函数、方法、过程的形式存在，能将已定义问题的抽象形式转化为对解决问题有用处的抽象形式。工具不一定是基于计算机的。应该选择最能有效解决问题的工具。

7. 完成计算

使用数学工具进行计算。

8. 解释答案

学生对计算阶段的结果进行解释，以满足原始问题的目标。

9. 评判与验证

评判是考虑解体过程或者结论可能存在的错误。验证是与前提进行对比，看是否符合前提，以确认答案，证明结果是正确的。

10. 一般化模型、理论、方法

尝试推广结论。让结论更具普遍性。

11. 交流与合作

交流与合作贯穿于解决问题的各个阶段。

基于计算机的数学课程的最大阻碍是当前考试制度，考试中有大量的计算内容，为了分数还是要训练计算能力，但一定要清楚其它三个环节更重要，根据个人观察，限制学生数学能力的主要原因不是计算，而是其它三个环节的不足。因此，再保证计算能力的同时，要根据上述要求，设计一些题目或项目，重点训练学生解决问题的计算思维四步法，该由计算机完成的任务就交给计算机。

本文译自http://www.computerbasedmath.org/。非严格翻译，对网站内容进行了组合取舍，夹杂了少量私货。