【图像处理】平行线投影radon变换

　　从一个角度，用光源照射对象物体，屏幕上会形成对象物体的影子；如果物体是半透明的，那么影子便有灰度而不是纯黑的，这说明屏幕上的像可以反映物体内部对可见光的衰减作用。我们从落于[0~ π ]的一系列连续角度照射物体，形成一系列的像，这些像包含物体结构特征信息，基本上可以通过这些像还原物体的形状特征，如果物体是半透明的，那么物体内部的结构也可以还原出来。物体原始形状变换生成这些投影像，称为radon变换；从这些像还原物体形态，称为逆radon变换。人体对可见光是不透明的，但对X光是半透明的，因此CT可以发射X光照射人体，生成人体内部结构的图像信息。
　　radon变换的公式是：

xcosθ+ysinθ=ρg(ρ,θ)=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−ρ)dxdy

本质上就是沿着 xcosθ+ysinθ=ρ 确定的多条平行射线，建立法线方向为 θ 的线段上的投影。一个比较简单的实现是，让图像均匀旋转 θ 角度，然后计算x轴上的投影。假设角度区间[0~ π ]被分割为n份，投影线段长m，则最终我们获取 m×n 大小的二维矩阵，称为投影矩阵。

　　radon反变换的公式是：

f(x,y)=∫π0g(xcosθ+ysinθ,θ)dθ

该反变换操作比较简单，但是计算量大，且输出图像模糊有光晕。

　　为了得到清晰的图像，我们需要进行频域滤波。首先我们知道二维傅里叶变换对为：

F(u,v)=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdyf(x,y)=∫∞−∞∫∞−∞F(u,v)ej2π(ux+vy)dudv

这里引入傅里叶切片定理，其中 ω 是频率分量：

G(ω,θ)=∫∞−∞g(ρ,θ)e−j2πωρdρ=∫∞−∞∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−ρ)e−j2πωρdxdydρ=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)[∫∞−∞δ(xcosθ+ysinθ−ρ)e−j2πωρdρ]dxdy=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)e−j2πω(xcosθ+ysinθ)dxdy=F(ωcosθ,ωsinθ)

这说明一个投影的一维傅里叶变换，是二维投影矩阵的二维傅里叶变换的一个切片。上述最后一步执行换元操作。
频域逆变换为：

f(x,y)=∫∞−∞∫∞−∞F(ωcosθ,ωsinθ)dωcosθdωsinθ∵dωcosθdωsinθ=ωdωdθ∴f(x,y)=∫∞−∞∫∞−∞F(ωcosθ,ωsinθ)ωdωdθ=∫2π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ∵cos(θ+π）=−cosθ,sin(θ+π）=−sinθ∴G(ω,θ+π)=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)e−j2πω(−xcosθ−ysinθ)dxdy=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)e−j2π(−ω)(xcosθ+ysinθ)dxdy=G(−ω,θ)→f(x,y)=∫π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ+∫π0∫∞0G(−ω,θ)ej2π(−ω)(xcosθ+ysinθ)ωdωdθlet(−ω→t)→f(x,y)=∫π0∫∞0G(ω,θ)ej2πω(xcosθ+ysinθ)ωdωdθ+∫π0∫−∞0G(t,θ)ej2πt(xcosθ+ysinθ)tdtdθ=∫π0∫∞−∞G(ω,θ)ej2πt(xcosθ+ysinθ)|ω|dωdθ

我们可以看出上述式子推导过程中利用了[0~ 2π ]的数据，虽然最后只需要[0~ π ]的投影数据，但是最终反滤波结果多了一项 |ω| 。这里面有什么更深层次的数学原理，我确实是不知道的。相比直接空间积分的结果，傅里叶切片重建效果更好的原因，可能有：

• 我们之前进行radon投影时，看到[0~ π ]和[ π ~ 2π ]的 θ 角度下得到的投影是互为镜像，粗看认为信息是重复的，于是贸然舍弃一半，只计算了[0~ π ]角度的投影数据，这可能隐性地造成了数据不全。
• 直接进行空间积分变换，可能造成不同角度投影之间发生混淆，导致产生模糊和光晕

在最终式子中，积分计算 |ω| 项是不可能的，该项不可积。我们可以通过引入窗函数，截断 |ω| 项或者使用其他近似的窗函数，计算积分计算式并滤波，从而得到一个相对较好的结果。

滤波反投影重建逆radon变化步骤如下：

• 计算每个投影的一维傅里叶变换
• 使用截断的 |ω| 项或者类似的窗口函数进行滤波，得到新的一维傅里叶变换数据
• 计算傅里叶反变换，获得原图

简单滤波的结果

Matlab重建结果，注意有条纹

Matlab的radon逆变换效果好，Matlab的牛逼只有研究过的人才懂，自己实现不了的痛也只有研究过的人才懂。。