01背包问题详解

目录

 

问题描述

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

分析

问题建模

最优化证明

递推关系

C++代码1（二维数组）

C++代码2（一维数组）

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问题描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例：

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

分析

「0-1 背包」是较为简单的动态规划问题，也是其余背包问题的基础。

动态规划是不断决策求最优解的过程，「0-1 背包」即是不断对第 i 个物品的做出决策，「0-1」正好代表不选与选两种决定。

 

问题建模

最优化证明

递推关系

定义函数f(i,j)：代表当前背包剩余容量为j时，前i个物品最佳组合所对应的价值；

那这里的递推关系式是怎样的呢？对于第i个物品，有两种可能：

1. 背包剩余容量不足以容纳该物品，此时背包的价值与前i-1个物品的价值是一样的，f(i,j) = f(i-1,j)
2. 背包剩余容量可以装下该商品，此时需要进行判断，因为装了该商品不一定能使最终组合达到最大价值。如果不装该商品，则价值为：f(i-1,j)；如果装了该商品，则价值为f(i-1,j-vi) + wi；从两者中选择较大的那个。

递推关系式：

    （1）状态f[i][j]定义：前 i 个物品，背包容量 j 下的最优解（最大价值）：

             当前的状态依赖于之前的状态，可以理解为从初始状态f[0][0] = 0开始决策，有 N 件物品，则需要 N 次决 策，每一次对第 i 件物品的决策，状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。

    （2）当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前 i 个物品最优解即为前 i−1 个物品最优解：

             对应代码：f[i][j] = f[i - 1][j]。

    （3）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 ii 个物品：

               选：f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
               不选：f[i][j] = f[i - 1][j] 。
               我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取 max() 。

   对于这个问题的子问题，这里有必要详细说明一下。原问题是，将n件物品放入容量为v的背包，子问题则是，将前i件物品放入容量为j的背包，所得到的最优价值为f(i,j)，如果只考虑第i件物品放还是不放，那么就可以转化为一个只涉及到前i-1个物品的问题。如果不放第i个物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为j的背包中的最优价值组合”，对应的值为f(i-1,j)。如果放第i个物品，那么问题就转化成了“前i-1件物品放入容量为j-vi的背包中的最优价值组合”，此时对应的值为f(i-1,j-vi)+wi。

C++代码1（二维数组）

#include
#include

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N][N];   //f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int v[N], w[N];   //体积、价值
int item[N] = {0};  //记录最优解的具体情况

void findWhat(int n, int m)   //回溯最优解的具体情况
{				
	int i = n;
	while(i>0)
	{
		if (f[i][m] == f[i - 1][m]) {
			item[i] = 0;
			i--;
		}
		else if (m - v[i] >= 0 && f[i][m] == f[i - 1][m - v[i]] + w[i]) {
			item[i] = 1;
			m -= v[i];   //回溯
			i--;
		}
	}
}

int main()
{
	int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
		cin >> v[i] >> w[i];

	memset(f, 0, n*n*sizeof(int));

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
	{
		
		for(int j = 1; j <= m; j++)
		{
			//当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
            	f[i][j] = f[i - 1][j];
            //能装，需进行决策是否选择第i个物品
            else  
				//f[i - 1][j - v[i]]是指：从第1 ~ i-1中选物品，且装入物品的总体积不超过 j-v[i]的前提下，取得最大价值  
			  	//f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]是指：当前背包容量为j，在装入物品的总体积不超过 j-v[i]的前提下，
				//从第1 ~ i-1中选出最大价值为f[i - 1][j - v[i]]的方案，然后再将第i个物品装进背包，则体积由j-v[i]变为j，
				//价值由f[i - 1][j - v[i]]增加为f[i - 1][j - v[i]]+w[i]  
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  
		}
		
		/*
		//与上面的for循环等效 
    	//for(int j = v[i]; j <= m; j++) 
		{
	  		//f[i][j] = f[i - 1][j];  //这一步可省去 
			//f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
        */
    }

    cout<

C++代码2（一维数组）

#include

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int f[MAXN] = {0};  // 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;      // 边输入边处理
        for(int j = m; j >= v; j--)  //一定要倒序，否则会出错
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}