OpenGL ES学习笔记（二）：图形数学基础

1.矩阵

矩阵其实就是个二维数组，如下图，是个 3×3 矩阵，它有三行和三列。

1. 矩阵

顶点和向量实际由一个1×3的矩阵表示：

2. 1x3矩阵

笛卡尔坐标系的三轴正向归一向量可以用以下矩阵表示：

x轴

y轴

z轴

三轴可合成如下3x3矩阵（先x然后是y再后是z）

3. 三轴矩阵

矩阵相乘

矩阵相乘的计算规则：以结果矩阵左上角第一个数字为例，是第一个矩阵第一行的每个数字，各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字，然后将乘积相加），得到结果矩阵左上角的那个值。

4. 矩阵相乘

也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。

转置矩阵

把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作AT
或A。

5. 矩阵的转置

6. 矩阵转置的运算性质

一个矩阵和它的转置矩阵可以这么直观地表示出来：

7. 矩阵及其转置矩阵

逆矩阵

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

初等变换法求逆矩阵：将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵

对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A。

8. 初等变换法求逆矩阵

2.四元数

复数是由实数加上虚数单位i组成，其中

相似地，四元数都是由实数加上三个元素i,j,k组成，而且它们有如下的关系：

每个四元数都是 1、i、j、k的线性组合，即是四元数一般可表示为

。
要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘数表：

9. 四元数乘法表

相对于将欧拉角信息存储在3个GLfloats变量或一个 Vector3D 变量里来说, 使用四元数有2个优点：

1.四元数不会造成万向节死锁(gimbal lock)，但是欧拉角容易造成万向节死锁，使用四元数能够让我们的3D模型能够全方位的移动。

2.相比于给每个欧拉角做矩阵旋转转换计算，使用四元数结合多角度旋转可以显著的减少计算量。

四元数结构体

从数据上看来，四元数只不过是比Vector 3D多加了一个GLfloat，经常把它当成w字段。所以对我们来说一个四元数就象这样：
typedef struct {
GLfloat x;
GLfloat y;
GLfloat z;
GLfloat w;
} Quaternion3D;

从一个四元数中创建旋转矩阵

这另外的一个方法相对简单些。并且这个基本算法来自于Matrix FAQ，虽然我需要把它转换成行优先的顺序。
static inline void Matrix3DSetUsingQuaternion3D(Matrix3D matrix, Quaternion3D quat)
{
matrix[0] = (1.0f - (2.0f * ((quat.y * quat.y) + (quat.z * quat.z))));
matrix[1] = (2.0f * ((quat.x * quat.y) - (quat.z * quat.w)));
matrix[2] = (2.0f * ((quat.x * quat.z) + (quat.y * quat.w)));
matrix[3] = 0.0f;
matrix[4] = (2.0f * ((quat.x * quat.y) + (quat.z * quat.w)));
matrix[5] = (1.0f - (2.0f * ((quat.x * quat.x) + (quat.z * quat.z))));
matrix[6] = (2.0f * ((quat.y * quat.z) - (quat.x * quat.w)));
matrix[7] = 0.0f;
matrix[8] = (2.0f * ((quat.x * quat.z) - (quat.y * quat.w)));
matrix[9] = (2.0f * ((quat.y * quat.z) + (quat.x * quat.w)));
matrix[10] = (1.0f - (2.0f * ((quat.x * quat.x) + (quat.y * quat.y))));
matrix[11] = 0.0f;
matrix[12] = 0.0f;
matrix[13] = 0.0f;
matrix[14] = 0.0f;
matrix[15] = 1.0f;
}

把一个角度和旋转轴转换成一个四元数

四元数可以做的另外一种转换是，表示成在一个Vector3D表示的轴线上进行旋转。这在骨骼动画里面是非常有用的，因为这种表现形式通过矩阵是很难做到的。创建一个基于角度和轴旋转得四元数，我们可以这样做：
static inline Quaternion3D Quaternion3DMakeWithAxisAndAngle(Vector3D axis, GLfloat angle)
{
Quaternion3D quat;
GLfloat sinAngle;

angle *= 0.5f;
Vector3DNormalize(&axis);
sinAngle = sinf(angle);
quat.x = (axis.x * sinAngle);
quat.y = (axis.y * sinAngle);
quat.z = (axis.z * sinAngle);
quat.w = cos(angle);

return quat;
}