bat 时间加减_烦不烦,别再问我时间复杂度了:这次不色,女孩子进来吧

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色谈Java序列化:女孩子慎入 - 第280篇

内心世界:前面一篇文章,度没控制好,差点就变成 黄色编程 了,这篇应该怎么写呢,不要毁了我帅气的形象

悟纤:师傅,徒儿最近在研究算法的时候,研究完之后,都需要通过运行程序来检测算法的性能。有些算法运行需要半小时,严重影响了我这学习的速度了。有没有办法我不想要运行程序就可以预估可能执行的“时间”。
师傅:徒儿,真好学,对于这个运行时间,或者程序的性能的话,还真有一个指标可以去衡量,那就是 时间复杂度
悟纤:时间复杂度,这是什么东东呢?
师傅:徒儿别急,待为师给你好好讲解一番。

BTW:算法的复杂度分为时间复杂度和空间复杂度,时间复杂度是指衡量算法执行时间的长短;空间复杂度是指衡量算法所需存储空间的大小。

一、why:为什么要使用时间复杂度

一个算法在证明数学正确性后,我们要关心它的运行时间,这是一个程序性能的重要指标。

师傅:程序的运行时间如何得到呢?
悟纤:这个还不简单,在代码开始之前得到开始时间,在代码结束的时候得到结束时间,通过(结束时间-开始时间),这不就得到了运行时间了嘛。
师傅:那这样子是不是势必就要运行程序才能得到这个运行时间呢?如果都是能够快速运行完的代码,这样子也不错,能够精确的得到代码的执行时间,如果是一个复杂的算法需要运行的比较久的话,那么这个时候就会比较痛苦了,修改一下算法就需要再运行一下。

所以通过实际运行得到算法的时间的话,有这么几个小缺点:

(1)复杂的算法通过开发到运行后在又优化,流程会很长,整体操作时间长。
(2)运行时间受硬件、软件的影响,这对我们评估算法本身存在影响。

我们是否可以做到在运行前,或者在编写前就预估出可能执行的“时间”。

这时候时间复杂度就孕育而生了,时间复杂度不是计算算法运行时间,而是估算出算法的复杂度,是个量级的概念。我们可以通过可能出现的时间复杂度,来选择可以接受的算法。

BTW:通过时间复杂度来预估算法的复杂程度,并不能够计算算法的运行时间。

二、what:什么是时间复杂度

2.1 概念

在引入时间复杂度的概念的时候,我们需要先来了解另外一个概念时间频度:

时间频度 一个算法执行所耗费的时间,从理论上是不能算出来的,必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试, 只需知道哪个算法花费的时间多,哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

了解了时间频度之后,就可以来给时间复杂度下个定义了:

时间复杂度 在刚才提到的时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

BTW

(1)在概念中要求T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,这个常数不妨理解为O(大O,不是零),那么等式就是T(n)/f(n) = O,变型一下就是为T(n) = O( f(n) ) ,这个等式我们一般这么读,T(n)的时间复杂度为O(f(n))。

(2)n 为算法使用者可以传入的变量,通常时间复杂度受该参数影响。

(3)T(n) 算法的运行次数,次数随着 n 的变化,而变化。

(4)O(f(n)) 算法运行次数变化的规律,也就是时间复杂度,以大写的 O 为符号标记。

(5)f(n) 时间复杂度的值,是个近似值。

最坏时间复杂度:

最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般不特别说明,讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界,这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

2.2 举个栗子

我们先通过一些小栗子来理解这个时间频度和时间复杂度吧。

「以下代码是JS代码」

栗子1:

console

执行一次console.log我们进行一次运算,那么T(n) = 1,这个算法的时间复杂度就是O(1),也称为常数阶。

栗子2:

for

这个console.log需要执行n次,那么T(n) = n。随着参数 n的变化而变化,那么这个算法的时间复杂度为 O(n),也称为线性阶。

栗子3:

for

在这个算法里,console.log(i+ j); 的执行次数为 n * n,那么T(n) = n²,时间复杂度就是O(n²),也成为平方阶。

通过这几个例子,我们可以得到计算时间复杂度的三个步骤

(1)找出算法的基本运行语句

(2)计算运行次数的量级

(3)使用 O 将其标记起来

通过上面的例子中,会有一种误区就是O( f(n) ) 中的f(n) 就等于T(n),这是错误的。

那么时间复杂度是如何计算的呐?

三、how:如何计算时间复杂度

3.1 计算方式

计算时间复杂度也就是计算函数 f(n) 的值,是一个量级,在复杂算法中,时间复杂度关心的是最大的量级。

计算方式有如下规则:

(1)不受参数 n 影响的运算次数,我们用常量 C 表示,当算法有参数n 时,C 可以忽略不计,否则用 1 代替。(常数变1,然后去常数,去常参)。

(2)不受 for 循环影响的运算次数,使用加减法计算,否则使用乘法计算。

(3)在最后的计算公式中,我们使用最大量级的值,来代表整个算法的时间复杂度。(去低阶)

有点抽象吧,还是举例说明。

3.2 举个栗子

栗子:常量变 1

console

公式推导如下:

f

所以上面的算法时间复杂度为:O(1)

栗子:去常数

console

公式推导如下↓↓↓:

f

所以上面的算法时间复杂度为:O(n)

BTW:为什么可以去掉常量?当 n 趋近无穷大时,常亮对最终的结果来说已经是无足轻重了,时间复杂度只关心最大的量级,所以常量可以忽略不计。

栗子:去常参

console

公式推导如下↓↓↓:

所以上面算法的时间复杂度为:O(n)。

BTW:当n趋近无限大的时候,n前面的系数,对于结果就影响比较小,可以n前面的系数就可以忽略不计。

栗子:去低阶

for

公式推导如下↓↓↓:

栗子:去低阶

for

公式推导如下↓↓↓:

那么上面算法的时间复杂度就是:O(n²)

BTW:为什么可以去低阶? 同样的道理,当 n 趋近无穷时,n 在 n^2 的量级面前不值一提,所以我们可以去低阶。

四、常见的时间复杂度

常用时间复杂度所耗费时间从小到大依次为:

在上图中,我们可以看到当 n 很小时,函数之间不易区分,很难说谁处于主导地位,但是当 n 增大时,我们就能看到很明显的区别,谁是老大一目了然:

O(1) < O(logn) < O(n)< O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n)

五、其它要点

5.1 时间频度不同,时间复杂度可能相同

举例说明↓↓↓:

T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同,但时间复杂度相同,都为O(n2)。

5.2 复杂度默认指的就是时间复杂度

通常没有特别指明时,复杂度指的是时间复杂度,我们写代码时,要学会以空间来换取时间。

六、题外话

我们来看一下对数阶的推导过程,代码如下:

var i =1;

while(i <= n){

   i = i *2;

}

代码解读:

n是一个不确定的数,有一个while循环,结束的条件是i<=n的值,在循环体内 i的值是2倍的增加。

时间复杂度推导:

对于:var i=1,代码执行一次,那么关键是循环体的while循环需要执行多少次,决定了算法的时间复杂度。

这个while循环到底需要运行多少次呢?这个是未知数,我们使用变量k来表示,那么通过循环的结束条件i<=n的时候,循环结束,可以得到一个公式,我们看一下具体的推导过程:

通过以上分析,上面的算法的时间复杂度为:O( log(2)(n) ) 。【log(2)(n)表示以2为底n的对数】

BTW:对数公式是数学中的一种常见公式,如果a^x=N(a>0,且a≠1),则x叫做以a为底N的对数 , 记做x=log(a)(N)。

七、悟纤小结

师傅:为师今天讲了很多,悟纤,来,你给大家做个总结吧。

(1)为什么需要时间复杂度:通过时间复杂度可以来预估算法的复杂程度。
(2)时间频度:算法运行次数就是时间频度,使用T(n) 表示,举例说明:n的双层for循环,那么T(n) = n²。
(3)时间复杂度:算法运行次数变化的规律就是时间复杂度,使用O(f(n)) 来表示,举例说明:双层for的f(n) = Θ( n² ) = n² ,所以T(n) = n²的时间复杂度就是O(n²)。
(4)时间复杂度计算规则:常量取1「T(n) = C : O(1)」;n碰到常数,去常数「T(n)=n+c: O(n)」;n前系数,直接去「T(n)=cn : O(n)」; 高阶碰低阶,底阶靠边站 「 T(n) =n²+n:O(n²) 」。(复杂一些的时间复杂度是需要通过计算才能进行推导出来的)

师傅:师傅累坏了,得去打坐下了,徒儿为我护法下。

悟纤:师傅,你这就去好好休息下,徒儿在,妖怪岂敢放肆。

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