傅里叶变换性质证明卷积_傅里叶变换系列学习（5) ---如何正确理解卷积
为了进一步阐述傅里叶系列，本章引入了新的知识点，
信号与系统里面的惯例写法：
连续信号：x(t)
离散时间信号：x(nT)
离散信号：x[n]
连续频域：
离散频域：X[n]
以上，n都是整数，其他数是实数。
时域信号都用小写，频域信号都用大写，离散信号用[]，非离散信号用()
1. LTI( Linear Time Invariant）
我们只讨论LTI，为什么？ 1. 难，一般人研究不了；2. LTI足以应付大部分系统。需要注意的是，如果你在非LTI系统中，那么LTI的特性万万不要轻易使用。
1.1 先看linear
线性，就是线性代数里面的线性。数学家喜欢用公式描述线性变换。
连续信号：
对于一个系统，
离散信号：(把上面的连续信号换成离散信号）
对于一个系统，
线性的概念，数学上就是输入乘以标量，输出也乘以标量；对于信号来说，输入信号幅度变大多少倍，输出信号也变大多少倍；
线性的概念，还有一个就是叠加的概念；把两个或多个信号叠加，系统的响应等于原先各个信号响应的叠加。
1.2 时不变(Time-invariant)
时不变系统就是系统的响应不依赖于当前的时间。打个比方，我在早晨9点打开电脑，电脑开机，这个响应，跟我晚上10点开机的响应是一样的；电脑不会因为开机的时间不同而响应不同，这就叫时不变。再打个比方，我上午9点开机，系统正常开机；晚上开机的时候，因为电脑进水，开机失败，这样的系统就变成了时变系统了；系统因为时间不一样，对于同一个输入，响应不一样。
数学家还是喜欢用简单就是美的公式描述:
信号
对应的
信号
离散域的时不变也有的地方称为移不变。
当然了，有人会从哲学的高度讲“人不能两次踏入同一条河流”来否认时不变系统。确实，真正的时不变系统只存在于数学公式，现实世界从来都没有严格的时不变系统，因为长期的看，好的必然变坏，生的必然要死去；所以一般都是假设，短期内，系统是时不变系统。
对于系统的其他特性，暂时先不描述，因为暂时没有用到，需要用的时候再描述。
2.
2.1 离散域
先看看离散域的
按照定义，对于离散序列x[n], 很容易得到
更进一步，把上面的1换成任意整数：
显然我们可以看到
因为
来来回回，上面的公式写的就是信号
2.2 连续域
当把这个离散域定义得极好信号扩展到连续函数的时候，似乎很难实现。如何定义对于只在0点有值，非0点都是0的函数？在数学上，似乎是一个可去间断点定义成这个样子。这样的定义对于连续函数来说，显然是没有物理意义的。按照这样的定义，函数的能量是0。在连续域里面，因为只有一个可去间断点，所以能量为0。好了，数学家们经过深思熟虑，给了下面的定义：
显然，它是有能量的，但这也是一个相当变态的定义，从积分意义上讲，函数的面积是1，但是它的宽是0，所以这个函数的高应该是无穷大。想象一下，在时间轴上，一个函数， 从
对于这样的函数，在物理上如何实现，又要用极限大法了。定义一个矩形或者是三角形，然后让它的底边长度趋向于0。显然，物理上不存在这样的信号。
在离散域，
通过
有了
通过采样和量化，连续的模拟信号变成了离散的数字信号，可以通过数字信号的处理方法进行处理，处理完后，再由数字信号重构称模拟信号，这整个过程就是数字信号处理过程。
3.卷积
终于讲到卷积了。卷积好像也是一个学习的难点。
卷积的介绍，还是先从离散域考虑。
3.1 离散卷积
回到2.1节里面描述的公式：
关注这个公式，第一项和第二项的系数和是n，也就是序列x[n]的n，然后等式右边经过卷积运算，k没有了，最后只剩下n。
在此基础上，把序列x[n]输入到系统H，得到的输出是y[n]；假设
代入
因为是线性系统，
记
其中h[n]为系统对
下面从字面上解读一下这个公式。
在解读卷积公式之前，先厘清概念，概念不厘清，永远都是稀里糊涂的。
h[n]是表示一个序列还是序列中某个特定的项。对于n的不同理解，卷积的理解也完全不一样。当把h[n]看成一个特定项的时候，有了网上的各种非常精彩的解释，比如掷色子/打肿脸等，核心都是反折，平移，相乘，累加。我再简单重复一遍。
3.1.1 y[n]，h[n]标识为某个特定项
在这个前提下，我们举个简单的例子，想象一下下面的图中的输入信号x[n]，系统的冲击响应是h[n]。
在这个系统中，输入信号有3个有效值，x[0]，x[1]，x[2]分别表示时刻0，时刻1和时刻2的输入；冲击响应有两个h[0]和h[1]，h[0]表示系统0延迟的响应，h[1]表示系统延迟为1的响应。
step 0，计算y[0]，我们只需要关注x[0]信号的h[0]的响应x[0]h[0]，输入在0时刻，延时为0，所以系统在0时刻的响应y[0]=x[0]h[0]；（这里注意到信号的输入时刻与delay的时刻之和为0）
step 1，计算y[1]，我们需要关注系统在0时刻的输入x[0]信号，它有一个延迟为1的响应x[0]h[1]；系统在1时刻的输入x[1]信号，它有一个延迟为0的响应x[1]h[0]；没有其他信号的响应能满足在时刻1有输出，所以y[1]=x[0]h[1]+x[1]h[0]（这里注意到信号的输入时刻与delay的时刻之和为1）
step 2，计算y[2]，0时刻的输入，由于没有delay为2的响应，所以0输入就不用考虑了；对于时刻1的输入，它的0 delay的响应，显然不会在时刻2到达系统，而对于它的1 delay的响应则对y[2]有贡献x[1]h[1]；对于时刻2的输入，它的0 delay的响会在时刻2有输出有贡献，贡献值是x[2]h[0]；此外没有其他信号的响应能满足在时刻2有输出，所以y[2]=x[1]h[1]+x[2]h[0]（这里注意到信号的输入时刻与delay的时刻之和为2）
step3，以此类推，我们可以得到y[3]=x[2]h[1]+x[3]h[0]。
更进一步，对于时刻n，对该时刻有贡献的响应是...,
3.1.2 y[n]，h[n]标识为序列
- 在这里，n是一个变量，所以x[n]是一个序列，其他的符号，比如x[k]，就认为是某个特定的项。
- 有了第一条，我们再看x[n-k]，这就是把序列x[n]延时k个单位；相反，x[n+k]就是x[n]序列提前。
再来看公式
举个栗子
对于某个系统，冲击响应是
依旧使用上面的x[n]，然后
从上面的图中，我们可以看到，x[0]h[n-0]计算得到的是y[0]和y[1]的一部分，x[1]h[n-1]计算得到的是y[1]和y[2]的一部分。可见，在不同前提条件下，对同一个公式我们有不同的理解。真正理解后，其实会发现，两种理解本质是一样的。
换个视角
对于输入时h[n]，冲击响应是x[n]的系统，它的输出y[n]是什么？
相当于我们再次复习了一遍图解的过程，大家欣喜的看到
这就是卷积的交换律。
其实，数学家不需要画这么多图，数学家最擅长的就是公式变换，且看：
简单就是美，数学家从来不需要多余的东西。
另外，对于长度是M和N的序列，卷积后，长度是M+N-1，比如上面的例子，M=2，N=3，卷积后序列有效长度是4。证明很简单，对于长度为M的序列，它需要delay （0次，1次，...，N-1次），最终长度就是M+N-1。
下面再看连续域
3.2 连续卷积
3.2.1 定义
这个小节，我们从定义出发。
对于系统H，
相应的，对于
在2.2小节，我们得到了
因为我们的系统是线性的，
又因为我们的系统是时不变的，并且
上面的公式就是连续域的卷积公式。
3.2.2 离散到连续，运用极限大法
更进一步，如果系统是因果系统（在没有输入的情况下，没有输出，这样的系统就是因果系统），因果系统的t时刻的输出不取决于t时刻之后的输入。
在因果系统下，
这个公式可以这样记忆：系统某个时刻的输入
这个记忆方法，其实，跟我在3.1.2中描述离散卷积的方法，一样。
下次再撩。