FFT从入门到使用（ACM/OI）

(首先膜一发高中生qwq亏我学了信号处理原理专业课了竟然是看高中生的博客才能看懂qwq。。。大概断断续续看了几十篇吧。。。

序言

可能是许久以来写的最认真的一篇了吧，加上今天感觉不太舒服，但是觉得要开始扎实的学点什么，所以，就从现在开始吧。感谢所有认真写博客的人的帮助！！！希望我也能贡献点什么ｑｗｑ。。。

一直想学ＦＦＴ，之前牛客的多小有一道组合数学就用ＦＦＴ写的，而且当时还傻乎乎的用唯一分解定理，但是自己好久没静下心学什么了，而且自己的数学功底又不好，导致一直学不会。看了很多人的博客也没看明白，尤其是原根。但是看了一个ＯＩｅｒ的博客，顿时明白了。。。然后赶紧记录下来。

另外，本文的代码实现全部参考匡斌（kuangbin）的模板（2018.7更新）

前言

你搜索这个关键词就已经知道这一是个数学的东西了。只想学会用很简单，但是这远远不够。所以在看这个博客之前应该先学一下复数的基本知识。

好了下面进入正文。

1．ＤＦＴ　ＩＤＦＴ　ＦＦＴ官方定义？

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。

FFT是一种DFT的高效算法，称为快速傅立叶变换（fast Fourier transform）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——百度百科

在百度百科上能找到ＤＦＴ和ＦＦＴ这两个定义。正如定义，ＦＦＴ和ＤＦＴ实际上按照结果来看的话是一样的，但是ＦＦＴ比较快的计算ＤＦＴ和ＩＤＦＴ（离散反傅里叶变换·）。

快速数论变换(NTT)是快速傅里叶变换（ＦＦＴ）在数论基础上的实现。

是不是有点迷ＱＡＱ？既然是官方定义那肯定不能让你看懂才对嘛～下面我们一一解释～

2．为什么要使用FFT？

我们在这里引入一个例子：求多项式乘积的朴素算法。

大家平时求       与    的乘积时候，是怎么进行的呢？

我们令

那么很显然我们进行了9次运算，复杂度是.（具体代码实现不再展开）

但是如果数字足够大呢？比如100000？那朴素算法可太慢啦(；′⌒`),

3.学习FFT

3.1 在学习FFT之前...

3.1.1什么是FFT

FFT，即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。——360百科

如果上一个例子用朴素算法太慢啦！所以我们要用FFT进行优化，复杂度会降为

3.1.2项式的系数表示法与点值表示法

一个多项式，我们可以怎样来表示呢？

系数表示法就是用一个多项式的各个项系数来表达这个多项式。比如：

点值表示法是把这个多项式看成一个函数，从上面选取n+1个点，从而利用这n+1个点来唯一的表示这个函数。为什么用（n+1）个点就能唯一的表示这个函数了呢？想一下高斯消元法，两点确定一条直线。再来一个点，能确定这个直线中的另一个参数，那么也就是说（n+1）个点能确定n个参数（不考虑倍数点之类的没用点）。如下：

多项式由系数表示法转为点值表示法的过程，就成为DFT；

相对地，把一个多项式的点值表示法转化为系数表示法的过程，就是IDFT。

而FFT就是通过取某些特殊的x的点值来加速DFT和FFT的过程。

3.1.3复数的引入

复数分为实数和虚数。实数就是我们日常最常用的有理数和无理数。大家记得我们在开始学平方的时候，老师会说所有数的平方大于等于0对不对，那么虚数就引入了。虚数一般用i表示，对于虚数i，有。另外，i对于虚数的意义，与1对于实数的意义是一样的。如果我说得不够明确，你可以看下面我引用的百科说明。

在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。

可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。

                                                                                                                                                                    ——百度百科

下面我们用一幅图来表示复数与复平面的关系（图源百度百科）

其中横坐标是实数轴，纵坐标是虚数轴，这样就可以把每个虚数看为一个向量了，对应的，虚数可以用普通坐标和极坐标(其中r为虚数长度，theta为虚数和实数轴正半轴夹角)来表示。

接下来思考两个复数相乘是什么意义：

1.

2.长度相乘，角度相加：这么一看的话，我们很容易想到如果两个长度为1的不同方向向量相乘，结果向量是不是一个长度依然为1的新向量呢？

3.1.4 单位复根的引入

我们回到之前的问题：多项式（点值表示法）的乘积。

考虑这样一个问题：

刚刚说到了DFT是把多项式从系数表示转到了点值表示（复杂度为O(n)），那么我们把点值相乘之后（选取相应位置，并且复杂度为O(n)），如果能够快速还原成系数表示，是不是就完美解决我们的问题了呢？上述过程如下：

假设我们DFT过程对于两个多项式选取的x序列相同，那么可以得到

如果我们设那么很容易得到F(x)的点值表达式：

但是我们要的是系数表达式，接下来问题变成了从点值回到系数。如果我们带入到高斯消元法的方程组中去，会把复杂度变得非常高。光是计算就是n项,这就已经了，更别说还要把（n+1）个方程进行消元。。。。。。。。。

这里会不会觉得我们不去计算比较好呢？1和-1的幂都很好算，但是也仅仅有两个不够啊，我们至少需要（n+1）个o(╥﹏╥)o那怎么办呢！想到我们刚刚学的长度为1的虚数了吗？不管怎么乘长度都是1！对就是它！我们需要的是中的，很容易想到-i和1是符合的。那其他的呢？

现在我们看上图的圆圈。容易发现这是一个单位圆（圆心为原点，半径为1），所有在圆上的复数的长度均为1，也就是说它不管做多少次方r永远为1，结果也仅仅角度的变化而已。但是！！！进过旋转总会让角度%360 == 0成立的，也就是结果为1.我们把符合以上条件的复数成为复根，用表示。如果,那么我们把称为1的k次复根，记作(因为符合这个k次之后等于1的复数有很多，比如i的4k次幂永远为1，所以，这个n是一个编号，表示这是角度从小到大的第几个（从x的正半轴开始逆时针）)

是不是有点雾啊(￣▽￣)／没事没事接下来我们举个栗子：

 

那么很容易发现当K = 4的时候，相当于把单位圆等分K= 4份。然后每一份按照极角编号。那么是不是（在K = 4的时候）我们只要知道（因为他的角度是相当于单位角度）,就能知道，，了呢？当然是这样的。。。恒等于1， 的角度是的两倍，所以,依次依次类推。

因此，我们只要知道，就能求出。所以我们把称为单位复根，简写为

3.2 FFT的流程

qwq终于写到核心部分了，也就是，FFT到底怎么来写呢？

3.2.1 FFT流程第一步之DFT（共两步）

FFT之所以快，是因为他采用了分治的思想。

就DFT（将系数表达转换成点值表达）来说，它分治的来求当当前的的时候整个式子的值。他的分治思想体现在将多项式分为奇次项和偶次项处理。

对于一共8项的多项式

按照次数的奇偶来分成两组,然后右边提出来一个x

分别用奇偶次次项数建立新的方程

那么原来的f（x）由新函数来表示(是不是我们二分了一个多项式呢~)

给函数带个帽子表示此时在进行的是DFT过程，把x代进去，即有

！！！前方高能：

这个函数能处理的多项式长度只能是,否则在分治的时候左右不一样长，右边取不到系数了，程序没法进行。所以要在第一次DFT之前就把序列向上补成长度为（高次系数补0）、最高项次数为（n-1）的多项式。

然后我在代入值的时候，因为要代入n个不同值，所以我们就代入一共个不同值。

/*
*做FFT 
*len必须是2^k形式 
*on == 1时是DFT，on == -1时是IDFT 
*/
void fft(Complex y[],int len){
	change(y,len);
	for(int h = 2;h <= len;h<<=1){
		Complex wn(cos(-1*2*PI/h),sin(-1*2*PI/h));
		for(int j = 0;j < len;j += h){
			Complex w(1,0);
			for(int k = j;k < j + h/2;k++){
				Complex u = y[k];
				Complex t = w*y[k + h/2];
				y[k] = u + t;
				y[k + h/2] = u - t;
				w = w*wn;
			}
		}
	}
} 

 

但是这个算法还需要从“分治”的角度继续优化。我们每一次都会把整个多项式的奇数次项和偶数次项系数分开，一只分到只剩下一个系数。但是，这个递归的过程需要更多的内存。因此，我们可以先“模仿递归”把这些系数在原数组中“拆分”，然后再“倍增”地去合并这些算出来的值。然而我们又要如何去拆分这些数呢？

设初始序列为

一次二分之后

两次二分之后

三次二分之后

有啥规律呢？其实就是原来的那个序列，每个数用二进制表示，然后把二进制翻转对称一下，就是最终那个位置的下标。比如是001，翻转是100，也就是4，而且最后那个位置确实是4，是不是很神奇啊~~~

这里附上代码

/*
*进行FFT和IFFT前的反置变换 
*位置i和i的二进制反转后的位置互换 
*len必须为2的幂 
*/ 
void change(Complex y[],int len){
	int i,j,k;
	for(int i = 1,j = len/2;i= k){
			j = j - k;
			k = k/2;
		} 
		if(j < k)	j+=k;
	}
} 

3.2.2FFT流程第二步之IDFT（共两步）

这一步IDFT（傅里叶反变换）的作用我说的已经很清楚啦，就是把上一步获得的目标多项式的点值形式转换成系数形式。但是似乎并不简单呢（雾）。。。但是，我们把单位复根代入多项式之后，就是下面这个样子（矩阵表示方程组）

而且现在我们已经得到最左边的结果了，中间的x值在目标多项式的点值表示中也是一一对应的，所以，根据矩阵的基础知识，我们只要在式子两边左乘中间那个大矩阵的逆矩阵就行了。由于这个矩阵的元素非常特殊，他的逆矩阵也有特殊的性质，就是每一项取倒数，再除以n，就能得到他的逆矩阵（这边根据的是单位原根的两个特殊性质推出来的，具体比较麻烦。如果想知道的话私我吧。）

如何改变我们的操作才能使计算的结果文原来的倒数呢？我们当然可以重新写一遍，但是这里有更简单的实现。这就要看我们求“单位复根的过程了”：根据“欧拉函数”e^iπ=-1，我么可以得到e^2πi=1。如果我要找到一个数，它的k次方=1，那么这个数ω[k]=e^(2πi/k)（因为(e^(2πi/k))^k=e^(2πi)=1）。而如果我要使这个数值变成“1/ω[k]”也就是“(ω[k])^-1”，我们可以尝试着把π取成-3.14159…，这样我们的计算结果就会变成原来的倒数，而其它的操作过程与DFT是完全相同的（这真是极好的）。我们可以定义一个函数，向里面掺一个参数“1”或者是“-1”，然后把它乘到“π”的身上。传入“1”就是DFT，传入“-1”就是IDFT，十分的智能。

所以我们fft函数可以集DFT和IDFT于一身。见下

/*
*做FFT 
*len必须是2^k形式 
*on == 1时是DFT，on == -1时是IDFT 
*/
void fft(Complex y[],int len,int on){
	change(y,len);
	for(int h = 2;h <= len;h<<=1){//模拟合并过程 
		Complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));//计算当前单位复根
		for(int j = 0;j < len;j += h){
			Complex w(1,0);//计算当前单位复根
			for(int k = j;k < j + h/2;k++){
				Complex u = y[k];
				Complex t = w*y[k + h/2];
				y[k] = u + t;//这就是吧两部分分治的结果加起来 
				y[k + h/2] = u - t;
				//后半个“step”中的ω一定和“前半个”中的成相反数
                //“红圈”上的点转一整圈“转回来”，转半圈正好转成相反数
                //一个数相反数的平方与这个数自身的平方相等
				w = w*wn;
			}
		}
	}
	if(on == 1){
		for(int i = 0;i < len;i++){
			y[i].x /= len;
		}
	}
} 

 

好了现在附上全部代码，序言说过代码来自kuangbin的模板~~~~~来大家和我一起Orz一发

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);
struct Complex{
	double x,y;
	Complex(double _x = 0.0,double _y = 0.0){
		x = _x;
		y = _y;
	}
	Complex operator-(const Complex &b)const{
		return Complex(x - b.x,y - b.y);
	}
	Complex operator+(const Complex &b)const{
		return Complex(x + b.x,y + b.y);
	}
	Complex operator*(const Complex &b)const{
		return Complex(x*b.x - y*b.y,x*b.y + y*b.x);
	}
};
/*
*进行FFT和IFFT前的反置变换 
*位置i和i的二进制反转后的位置互换 
*len必须为2的幂 
*/ 
void change(Complex y[],int len){
	int i,j,k;
	for(int i = 1,j = len/2;i= k){
			j = j - k;
			k = k/2;
		} 
		if(j < k)	j+=k;
	}
} 
/*
*做FFT 
*len必须是2^k形式 
*on == 1时是DFT，on == -1时是IDFT 
*/
void fft(Complex y[],int len,int on){
	change(y,len);
	for(int h = 2;h <= len;h<<=1){
		Complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
		for(int j = 0;j < len;j += h){
			Complex w(1,0);
			for(int k = j;k < j + h/2;k++){
				Complex u = y[k];
				Complex t = w*y[k + h/2];
				y[k] = u + t;
				y[k + h/2] = u - t;
				w = w*wn;
			}
		}
	}
	if(on == 1){
		for(int i = 0;i < len;i++){
			y[i].x /= len;
		}
	}
} 

const int MAXN = 200020;
Complex x1[MAXN],x2[MAXN];
char str1[MAXN/2],str2[MAXN/2];
int sum[MAXN];


int main(){
	while(scanf("%s%s",str1,str2) == 2){
		int len1 = strlen(str1);
		int len2 = strlen(str2);
		int len = 1;
		while(len < len1*2||len < len2*2)	len <<= 1;
		for(int i = 0;i < len1;i++)
			x1[i] = Complex(str1[len-1-i] - '0',0);
		for(int i = len1;i < len;i++)
			x1[i] = Complex(0,0);
		for(int i = 0;i < len2;i++)
			x2[i] = Complex(str2[len2-1-i] - '0',0);
		for(int i = len2;i < len;i++)
			x2[i] = Complex(0,0);
		fft(x1,len,1);
		fft(x2,len,1);
		for(int i = 0;i < len;i++)
			x1[i] = x1[i]*x2[i];
		fft(x1,len,-1);
		for(int i = 0;i < len;i++)
			sum[i] = int(x1[i].x + 0.5);
		while(sum[len] == 0&&len > 0)	len--;
		for(int i = len;i >= 0;i--)
			printf("%c",sum[i] + '0');
		printf("\n");
	}
	return 0;
} 

至此，FFT算是告一段落了。

但是，算竞选手可能像我一样有下面的疑问：

假如我要计算的多项式系数是别的具有特殊意义的整数，那么我通篇都在用浮点数运算，首先从时间上就会比整数运算慢，另外我最多只能用long double不能用long long类型，我能不能应用数论的变化从而避开浮点运算，达到“更高更快更强(*･ω< ) ”呢？

4.算竞选手看过来~NTT（数论优化的快速傅里叶变换）   

NTT解决的是多项式乘法带模数的情况，可以说有些受模数的限制，数也比较大，

但是它比较方便呀毕竟没有复数部分qwq

4.1 学习NTT之前...

4.1.1生成子群

子群：群(S,⊕), (S′,⊕), 满足S′⊂S，则(S′,⊕)是(S,⊕)的子群

拉格朗日定理:|S′|∣|S|证明需要用到陪集，得到陪集大小等于子群大小，每个陪集要么不想交要么相等，所有陪集的并是集合S，那么显然成立。

生成子群：的生成子群，a是的生成元

阶：群S中a的阶是满足的最小的r,符号,有，显然成立。

考虑群
阶就是满足的最小的

4.1.2 原根

g满足，对于质数p，也就是说结果互不相同.

模n有原根的充要条件 :

离散对数:因为g是原根，所以gt每ϕ(n)是一个周期，可以取到|Z∗n|的所有元素
对于n是质数时，就是得到[1,n−1]的所有数，就是[0,n−2]到[1,n−1]的映射
离散对数满足对数的相关性质，如

求原根可以证明满足的最小的r一定是p−1的约数
对于质数p，质因子分解p−1，若恒成立，g为p的原根

4.2 NTT

对于质数,原根g满足,将看做的等价，择其满足相似的性质，比如

然后因为这里涉及到数论变化，所以这里的N（为了区分FFT中的n，我们把这里的n称为N）可以比FFT中的n大，但是只要把看做这里的q就行了，能够避免大小问题。。。

常见的有

就是的等价

迭代到长度l时,或者

接下来放一个大数相乘的模板

参考网址如下https://blog.csdn.net/blackjack_/article/details/79346433

#include
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#include
#include
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#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#include

emmmm...现在去做题啦，如果那里写的不对或者有什么问题第一时间联系我啊！！！

qwq好菜啊我