近世代数理论基础28：单扩张

单扩张

代数元

定义：域F上存在不全为0的元,使得,则称为域F上的一个代数元,否则称为F上的一个超越元

两类单扩张

设x为域F上的一个不定元

定理：若是F上的一个超越元,则,这里F(x)表示F上的有理函数域

证明：

定理：若是F上的一个代数元,则存在F上唯一确定的首1不可约多项式p(x)使

证明：

若是F上的不可约多项式,则一定存在F的一个扩域,使在其中有一个根

设n为的次数,则中的任一元都可表为的线性组合

中元的四则运算

设

则

其中

设,则

由p(x)是不可约多项式,存在多项式,使

其中可用辗转相除法计算

即

极小多项式

定义：中满足的次数最低的首1多项式称为在F上的极小多项式,的次数称为在F上的次数

注：无零因子域任一代数元的极小多项式都是一个不可约多项式

定理：若是中的一个首1不可约多项式,则存在F的单扩张,使为的极小多项式

证明：

定理：设和是域F的两个单扩张,且和在上的极小多项式都是,则

证明：

注：在与的同构映射下,F中的元映射为自身,映射为

例：

1.,i在上的极小多项式为,代数次数为2

2.令,,,故在上的极小多项式为,是上的二次代数元

3.令为域上多项式的根,易知或

的根不在中,即在上不可约,是上的2次代数元

扩域的任一元都可表为,即1与的-线性组合

将与分别表为1与的-线性组合

故

又

故

4.利用爱森斯坦判别法,是上不可约多项式

设是f(x)的一个实根(实系数奇次多项式必有实根),则是上的3次代数元

将中的及表为1,,的-线性组合

故,对和辗转相除

故