01背包和完全背包

在hihocoder上面的题目中看到的这个问题，总结一下。先看01背包问题。

01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？

看到这个问题，可能会想到贪心算法，但是贪心其实是不对的。例如最少硬币找零问题，要用动态规划。动态规划思想就是解决子问题并记录子问题的解，这样就不用重复解决子问题了。

动态规划先找出子问题，我们可以这样考虑：在物品比较少，背包容量比较小时怎么解决？用一个数组f[i][j]表示，在只有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解，那么当物品种类变大为i+1时，最优解是什么？第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包（这也就是0和1），假设放进背包（前提是放得下），那么f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1]；如果不放进背包，那么f[i+1][j]=f[i][j]。

这就得出了状态转移方程：

f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。

可以写出代码测试：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片

    #include  
    using namespace std;  
    #define  V 1500  
    unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0  
    unsigned int weight[10];  
    unsigned int value[10];  
    #define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
    int main()  
    {  
          
        int N,M;  
        cin>>N;//物品个数  
        cin>>M;//背包容量  
        for (int i=1;i<=N; i++)  
        {  
            cin>>weight[i]>>value[i];  
        }  
        for (int i=1; i<=N; i++)  
            for (int j=1; j<=M; j++)  
            {  
                if (weight[i]<=j)  
                {  
                    f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);  
                }  
                else  
                    f[i][j]=f[i-1][j];  
            }  
          
        cout<  
    using namespace std;  
    #define  V 1500  
    unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0  
    unsigned int weight[10];  
    unsigned int value[10];  
    #define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
    int main()  
    {  
          
        int N,M;  
        cin>>N;//物品个数  
        cin>>M;//背包容量  
        for (int i=1;i<=N; i++)  
        {  
            cin>>weight[i]>>value[i];  
        }  
        for (int i=1; i<=N; i++)  
            for (int j=M; j>=1; j--)  
            {  
                if (weight[i]<=j)  
                {  
                    f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);  
                }             
            }  
          
        cout<  
    using namespace std;  
    #define  V 1500  
    unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0  
    unsigned int weight[10];  
    unsigned int value[10];  
    #define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  
    int main()  
    {  
          
        int N,M;  
        cin>>N;//物品个数  
        cin>>M;//背包容量  
        for (int i=1;i<=N; i++)  
        {  
            cin>>weight[i]>>value[i];  
        }  
        for (int i=1; i<=N; i++)  
            for (int j=1; j<=M; j++)  
            {  
                if (weight[i]<=j)  
                {  
                    f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);  
                }             
            }  
          
        cout<